概率论与数理统计精选.pdf

第四章 随机变量的数字特征 我们已经知道，一个随机变量的统计特征可以由分布函数完整地描述。如 X ~ () 时， k λ (tμ)2 λ e ；又如 2 ，则F (y ) 1 y e 2σ2 dt 。这些分布函数往往都含有某些参数。 F (x)  k ! Y ~ N (, ) 2  0k x 参数一旦被确定，相应的分布函数的具体形式也就被确定了，因而这些参数反映了随机变量的某些重要特 征。 在实际问题中，还有一些随机变量，它的分布函数很难求出，但我们常常可以通过一定的方法，求出 反映它的重要特征的某些数据。特别是当我们只需要了解所研究的随机变量一些重要特征而不太关心其具 体的分布特征时，掌握求出这些数据的方法就显得十分重要了。 例如，冰箱的耗电量是其质量的一个重要指标。一种品牌的冰箱的平均日耗电量，在一定程度上决定 了它的受欢迎程度。类似地，某一水稻品种的平均亩产量也反映了该种子的优劣。推而广之，随机变量的 平均取值情况是人们常常关注的一个重要指标。我们称之为均值。除均值外，随机变量的取值与其均值的 离散程度也是实际中常需要考察的。如一种水稻，平均亩产量600 公斤，但其中一半亩产量为300 公斤， 另一半亩产量900 公斤，那么买到亩产300 公斤的种子的农民就要遭受重大的损失。 由此可见，掌握随机变量的某些重要的数量指标——数字特征是十分有意义的事。本章将介绍“数学 期望”、“方差”、“离散系数”等重要数字特征的概念及其求法。 §4.1 数学期望 从一个简单的例子讲起：为监测某一批冰箱的日耗电量，从中随机抽取 台，测得其中30% 日耗电量 N N 为0.8 度，40% 日耗电量为0.9 度，其余30% 日耗电量为1.0 度，则这 台冰箱的日平均耗电量为 1 0.8 N 30%  0.9 N 40%  1.0 N 30% N 0.8 30%  0.9 40%  1.0 30% 0.9(度) 因此只要 足够大，就可推知这批冰箱的平均日耗电量约为0.9 度，由此引入如下定义 N 定义4.1.1 设离散型随机变量 的分布律为 X X x 1 x2 … xn … p k p 1 p 2 … p n …   x p x p EX 若级数 绝对收敛，则称 的值为随机变量 的数学期望或均值，记作E (X ) 或 。即  k k  k k X k 1 k 1  E (X ) x p ① (4.1.1) k k k 1 例4.1.1 设 服从0-1 分布 X X 0 1