概率论与数理统计 方差精选.ppt

* * 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 甲仪器测量结果 乙仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 方差 一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. 方差的算术平方根 称为标准差 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2∞，则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小； D(X)=E[X-E(X)]2 X为离散型， P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型， X~f(x) 二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 请自己用此公式计算常见分布的方差. 例1 设r.v X服从几何分布，概率函数为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n 其中0p1,求D(X) 解： 记q=1-p 求和与求导 交换次序 无穷递缩等比 级数求和公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 +E(X) 三、方差的性质 1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若X1与X2 独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2); 可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立,则 X1 与X2不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 请思考 4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C=E(X) P(X= x) 下面我们用一例说明方差性质的应用 . 例2 二项分布的方差 设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 . 若设 i=1,2，…，n 故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p, 则 是n次试验中“成功” 的次数 = p- p2= p(1- p) 于是 i=1,2，…，n D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p) 由于X1,X2,…,Xn相互独立 = np(1- p) 四、切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0, 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度. 如图所示 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .