概率论 大数定律与强大数定理精选.ppt

第三章3.3节 大数定律与强大数定理 主要内容 二、常用的四种大数定律 【定律】马尔可夫大数定律 【定律】车贝晓夫大数定律 例： 【定律】 贝努里大数定律 【定律】（泊松大数定律） 【定律】辛钦大数定律 例： 内容小结 贝努里(Jacob Bernoulli) 车贝晓夫(Pafnuty Chebyshev) 辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 1821-1894 俄国数学家、机械学家. 对数论、积分理论、概率论和力学都有很大贡献. 证明了贝尔特兰公式, 关于自然数列中素数分布的定理, 大数定律的一般公式以及中心极限定理. 创立了切比谢夫多项式. * * * * 问题提出 马尔可夫大数定律 泊松大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律 概率论是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该研究大量随机现象. 一、问题的引入 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限理论进行研究. 极限理论的内容很广泛，其中最重要的两种是: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 废品率 字母使用频率 在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大量随机现象中平均结果的稳定性的理论. 大数定律的客观背景 定义4.5 令 【证】 于是，当 时，有 注2? 注1? 注3? 车贝晓夫大数定律的另一种叙述 注4? 车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系 解 例：设X1, X2,?, Xn 是独立同分布的随机变量 从而对任意给定的? ?0, 由车贝晓夫不等式得 解 设随机变量 相互独立, 具有如下分布律: 问是否满足车贝晓夫大数定律的条件? 由题意可知随机变量彼此不相关条件满足. 可见, 每个随机变量的数学期望都存在. 检验是否有数学期望 检验是否有有限方差 故满足车贝晓夫大数定律的条件. 证 由车贝晓夫大数定理，对任意的? ?0, 有 证毕. 注1? 当 n 很大时, 事件发生的频率与其概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率. 证 由车贝晓夫大数定理，对任意的? ?0, 有 证毕. 前面通过车贝晓夫不等式建立起多种大数定律,那里都假定了方差的存在性，但是在随机变量独立同分布的场合，并不需要这个条件，这就是得到下面的辛钦大数定律 注1? 与车贝晓夫大数定理相比, 不要求方差存在且有界. 2? 贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例. 设随机变量 独立同分布, 证明对任意 解 由辛钦大数定理知, 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律 1654-1705 提出贝努里大数定理, 建立了贝努里概型. 在无穷级数理论、变分法和概率论等方面都有贡献. 瑞士人, 贝努里家族的三大杰出的数学家之一. 首先发展无穷小分析, 1960年提出悬连线问题,首创积分“integral”这一术语. *