几个巧妙应用数学知识的实例.docVIP

第三章 几个巧妙应用数学知识的实例 本章我们将应用数学去解决一些较简单的问题，初步尝试怎样把数学应用于解决问题的过程中。通过这些问题展示数学的奇妙作用，体会将数学用来解决各类实际问题时如何培养和发挥创造性思维能力，经常性地联想和积累，开拓思路，更好和更灵活地应用数学去解决问题。 1、生小兔问题 假设兔子出生以后两个月就能生小兔，且每月生一次，若每次恰好不多不少生1对（一雌一雄）。假如养了出生的小兔1对，试问一年后共有多少对兔子？（假设生下的兔子都不死）。 分析 第一个月：只有1对小兔； 第二个月：小兔子未成熟不会生殖，仍只有1对小兔； 第三个月：这对兔子生了1对小兔，这时共有2对； 第四个月：老兔子又生了1对小兔，而上月出生的小兔子还未成熟，这时共有3对，如此下去，我们可以得到下面的结果（见表3-1）： 表3—1 月份数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 兔子对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 从表3—1可知，一年后（第十三个月时）共有233对兔子。用这种办法推算，越往后越使人觉得复杂。有无简便的方法呢？ 我们将表3—1中的兔子的对数用表示，小标表示月份数（这样兔子数可视为月份数的函数），则称为裴波那契数列，记：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，… 观察，不难发现，第个月时的兔子可分为两类：一类是第个月时的兔子；另一类是当月出生的小兔子，而这些小兔数恰好是第个月时的兔子数（它们到第个月时均可生殖）。所以有以下的递推关系： 本问题的数学模型（上述结果）是1634年数学家奇拉特发现的。由于这一发现，生小兔问题引起了人们的极大兴趣。首先，由于有了上述数列，人们可以轻易地算出二年，三年，…以后的兔子数，而且由于人们继续对这个数列的探讨，又发现了它的许多奇特的性质，越来越多的应用被人们找到，因而引起了数学家的极大关注。一本专门研究它的杂志《裴波那契季刊》于1963年开始发行，美国还专门设立了该研究领域的数学委员会。20世纪80年代出现的“优选法”中，也找到了裴波那契数列的巧妙应用，从而使得这个古老的“生小兔问题”所引出的数列，焕发出新的生机。事实上，植物的叶序，菠萝的鳞片，蜜蜂进蜂房的路线等等这些问题中都要碰到裴波那契数列。 2、椅子问题 生活中的椅子大多数是4条腿，如果根据3点确定一平面原理，3条腿的椅子既稳定又节约材料，为什么不用3条腿的椅子？如果从美观的角度出发考虑，为什么不用5条腿、6条腿的椅子？4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？ 我们将建立一个简单而巧妙的模型来解决这个问题。在下面合理的假设下，问题的答案是肯定的。 假设： 1、椅子的4条腿一样长，4脚的连线是正方形； 2、地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，曲面能连续移动，不会出现阶梯状； 3、对于椅脚的间距和长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有3只脚同时落地。 建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用表示，将连线看作为轴、轴，建立如图3—1所示的坐标系。建立坐标系后，可将几何问题代数化。 当一次放不平椅子时，我们总是习惯于转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），由此可将椅子转动联想到坐标轴的旋转。 设为对角线转动后与初始位置轴的夹角。如果定义椅脚到地面的竖直长度为距离，则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同的位置，因而这个距离是的函数，而椅子有4个脚，故有4个距离，但又因正方形的中心对称性，所以只要设两个距离函数就可以了。记两脚与地面距离之和为，两脚与地面距离之和为，显然有。 因地面光滑，故、连续，而椅子在任何位置总有3只脚可同时“着地”，即对任意的，与中总有一个为零，即。不失一般性，不妨设=0，于是椅子问题抽象成如下数学问题： 已知、是的连续函数，且对任意的，，=0，。求证：存在，使得 证明：令，由函数、的连续性，知也是的连续函数，且有。 将椅子绕中心（即坐标原点）转动，则对角线与互换。 由=0，有，，从而 又在上连续，根据连续函数的介值定理知，必存在，使得，即 （3-1） 又因对任意的，和中总有一个为零，所以有 （3-2） 由（3-1）、（3-2）可知： 即只要把椅子绕中心（坐标原点）逆时针旋转角，椅子的4条腿就同时“着地”了，即椅子4条腿能同时“着地”。理论上保证了稳定性，又美观大方，所以生活中常见的便是