第十三章 多元函数的积分学.doc

第十一章 多元函数的积分学 解决许多几何，物理及其它实际问题，不仅需要一元函数的积分（定积分），还需要各种不同的多元函数的积分．定积分的积分区域是数直线上的区间，而多元函数的积分区域将会随着自变量个数的不同有着各种不同的积分．但是无论哪种多元函数的积分，其定义的方法和步骤和定积分的定义方法与步骤是基本相同的 ，本章将逐一讨论. §11．1 二重积分 教学目的及基本要求： 1.掌握二重积分的概念 2.了解二重积分的性质 3.掌握二重积分的计算 4．掌握二重积分的变换 5．了解如何计算积分面积 重点难点: 二重积分的概念 二重积分的积分区域 如何选择适当的换元,达到简化积分计算的目的 曲面面积微元 课时:6课时 11.1.1 曲顶柱体的体积 设有一立体 ，它是由一个柱面通过上下封口而形成的，其下底是xoy平面上的闭区域D，它的顶是曲面,这里且在D上连续，这种立体叫做曲顶柱体（见图11-1）.下面我们讨论如何计算曲顶柱体的体积V. 　　我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式 体积=高×底面积 来计算．关于曲顶柱体，当点在区域D上变动时，高度是个变量，因此它的 体积不能直接用上式来计算.但我们可以仿效求曲边梯形的面积的方法，通过分割、近似、 求和、取极限的办法来处理. 1．（分割）用一组曲线把D分成n个小区域 从而立体就被分成了分别以这些小区域为底的n个小曲顶柱体，记的面积为 2．（近似）当这些小区域很小时，由于连续，小曲顶柱体可近似看作平顶柱体，我们在每个中任取一点，以为高、以为底的平顶柱体的体积为（见图11-1） . 3．（求和）这n个平顶柱体体积之和 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 4．（取极限）显然，当小区域分得越小时，上述的近似程度就越高. 令为闭区域的直径.再令于是当时，的极限值就应该是原曲顶柱体的体积V，即 　　　　　 ． 　　　( 1 ) 11.1.2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有平面上的闭区域D，它在点处的面密度为，这里且在D上连续．现在要计算该薄片的质量M． 我们知道，如果薄片是均匀的，面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式 质量=面密度×面积 来计算．现在面密度是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算，但是我们可以用处理曲顶柱体体积问题的方法类似地解决此问题． 1．（分割）将闭区域D分为n个小区域 (的面积记为) 这样就把薄片分为n小块. 2．（近似）由于连续，从而当很小时，这些小块就可以近似地看成均匀薄片．在上任取一点，则第块薄片的质量的近似值为（见图11-2） 　　　　　　　　　　　　　 3．（求和）整个平面薄片的质量就近似于 ． 4．（取极限）当小区域分得越小时，上述和数与整个薄片的质量的近似程度就越高，于是当时（如上定义），的极限就是平面薄片的质量M，即 　　　　　　　　　 　　 ( 2 ) 11.1.3 二重积分的定义 上面两个问题的实际意义虽然不同，但所处理的方法是一样的，所求的量都归结为求同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多问题都可以归结为这一形式的和的极限，因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义． 定义1　设是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域 ， 并用表示第个小闭区域的面积．在每个上任取一点，作乘积，并作和．用表示各小闭区域的直径中的最大值．如果，则称此极限I为函数在闭区域D上的二重积分．记作 , 或 其中，叫做被积函数，或叫做面积元素. 与叫做积分变量，D叫做积分区域. 由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分 ． 平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域D上的二重积分 . 可以证明当在闭区域D上连续时，函数在D上的二重积分必定存在，以后我们所研究的二重积分总假定函数在闭区域D上连续. 11.1.4 二重积分的性质 二重积分与定积分有如下类似的性质： 性质 1 , 　　　　　　　　 (3 ) . 　　　　　　　(4) 性质 2 如果闭区域D被分为两个闭区域和，且与没有公共内点则 .