中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第26讲 建构数列模型的应用性问题.doc

数学高考综合能力题选讲26 建构数列模型的应用性问题 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型． 建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向． 范例选讲 例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠． （Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ （Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？ 讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设： 全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为，则我们所要回答的问题就是： （Ⅰ）是否存在自然数，使得80% ？ （Ⅱ）求使得60%成立的最小的自然数. 为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式． 由题可知：， 所以，当时，，两式作差得： 又， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列． 所以， 由上式可知：对于任意，均有．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%． （Ⅱ）令，得， 由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求． 验证可知：当时，均有，而当时，， 由指数函数的单调性可知：当时，均有． 所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%． 点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定的值． 例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？ 讲解：元． 设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为； 第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为； ……； 第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为元．于是： 105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x 由等比数列求和公式可得：．其中 所以， 法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱． 仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：元； 如果设第k年还款后，欠银行的余额为元，则． 不难得出：＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x 另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有．由此布列方程，得到同样的结果． 点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化． 例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？ 讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型： 设n边形（各边依次为）满足条件的涂色方法有种．考虑n＋1边形的涂法： 从边开始考虑，对于，有3种涂法；对于边，由于要不同于边，故有2种涂法；……；对于，有2种涂法；最后考虑边，如果不考虑这条边是否与边同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为． 上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边与边的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为；第二种是边与边的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边与边看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为．由此，不难得出： ． 所以，．另一方面，显然有．所以， ， 显然，． 点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关． 高考真题 （1999年全国高考）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出． （Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率