中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第25讲 建构函数模型的应用性问题.doc

数学高考综合能力题选讲25 建构函数模型的应用性问题 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力(如2002年文科22题)。例1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)． 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元． （Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关． 从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答． 由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润． （Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则 ． 又由图可知：． 所以， 由已知，当时，，即 ， 解得．即此时该店有50名职工． （Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润 ． 当时，求得时，S取最大值7800元． 当时，求得时，S取最大值6900元． 综上，当时，S有最大值7800元． 设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有 ． 解得． 所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元． 点评 求解数学应用题必须突破三关： （1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义． （2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题． （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型． 例2．一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD的A处（如图），发现C处有一位溺水者．他跑到E处后，马上跳水沿直线EC游到C处，已知救生员跑步的速度为米／分，游泳的速度为米／分． 试问，救生员选择在何处入水才能最快到达C处，所用的最短时间是多少？ 讲解：理解本题并不难：应该建立时间t（分）关于某个变量的函数关系式，然后，通过求最值的方法来解决问题． 难点在于变量的选择，当然，我们可以选择以AE的长度x（米）作为变量，但此时，求最值较为困难． 注意到：AE和EC的长度，可以方便的用角表示，不必用到根号，所以我们可以尝试以作为变量． 设，则，所以， 等号当且仅当，即，即时成立． 此时，，．也即，救生员应该在AB边上距B米处入水，才能最快到达C处，所用的最短时间为． 点评 （1）恰当选择变量，有助于简化数学过程；（2）本题中，若以为自变量，也可通过三角代换（或移项、平方、判别式等）来求得最值． 例3．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：． 注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量． （Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 讲解：（Ⅰ）当时，，所以，每天的盈利额． 当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额 综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为： ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，每天的盈利额为0． 当时，． 为表达方便，令，则．故 ．（等号当且仅当，即时成立）．所以， （1）当时，（等号当且仅当时成立）． （2） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）． 所以，．所以， ． 即．（等号当且仅当时取得） 综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润． 点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段． 高考真题 （1997年全国高考）甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和