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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第19讲 二次曲线与二次曲线
数学高考综合能力题选讲19
二次曲线与二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
高考说明中明确指出:“对于圆锥曲线的内容,不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”. 但是,在解答某些问题时(如1990年全国理科25题),难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题,因此,应该让学生明白:双二次曲线消元后,得到的方程的判别式与交点个数不等价.其次,有些问题涉及两个二次曲线,但所讨论和研究的并不是交点,而是它们的某些参量之间的关系,由于涉及到的参量较多,问题往往显得较为复杂,这类问题要特别加以注意,理清思路,顺藤摸瓜,设计好解题步骤.
范例选讲
例1.讨论圆与抛物线的位置关系.
讲解:圆是以为圆心,1为半径的圆,从草图不难发现,当时,圆与抛物线无公共点;当时,圆与抛物线相切;当时,圆与抛物线相交;而当时,圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断.
为此,我们需借助方程组的解的个数来加以说明.
把代入,整理得:(*).
此方程的判别式.
可以看到:当时,;当时,;当时,.
事实上,当时,的确有圆与抛物线相切;当时,圆与抛物线无公共点.而当时,虽然有方程(*)的,但圆与抛物线却并不总有公共点,也即判别式与方程组解的个数不等价.
造成这种情况的原因实际上是由于:在方程组转化为方程(*)的过程中,忽略了条件.事实上,方程组解的个数等于方程(*)的非负解的个数.
综上,圆与抛物线的位置关系如下:
当或时,圆与抛物线无公共点;当时,圆与抛物线相切(只有一个公共点);当时,圆与抛物线相交(两个公共点);当时,圆与抛物线相交(三个公共点);当时,圆与抛物线相交(四个公共点);当时,圆与抛物线相切(两个公共点).
点评:双二次曲线的问题,要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价.
例2. 已知椭圆,它的离心率为.直线,它与以原点为圆心,以的短半轴为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,左准线为.动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点.试点到圆上的点的最短距离.
讲解:(Ⅰ)∵ 直线与以原点为圆心,以b为半径的圆相切.
∴.
又∵ 椭圆的离心率为.
∴.
∴ 椭圆的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:椭圆的左焦点的坐标为,左准线的方程为:.
连接,则.由抛物线的定义不难知道:点M的轨迹为以为焦点,以:为准线的抛物线,其方程为:.
所以,点到圆上的点的最短距离,实际上就是抛物线与圆上的点的最短距离.下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题.
解法一:首先,如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小,则AB必过圆心O.(否则,连接OB、OA,设OA交圆于点N,则+NA=OAOB+AB=+AB,即NABA,与AB最小矛盾.所以,只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离即可.)
在抛物线上任取一点M(x,y),则
由于.所以,(等号当且仅当时取得).
所以,上述最短距离为.
解法二:用纯代数的方法去思考.
设为抛物线上任意点,为圆上任意点,
则
等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为和时取得.
点评:方法二需要较强的代数变形的能力,充分运用图形的几何性质可以使得问题简化.
例3.已知双曲线和椭圆有相同的焦点和,两曲线在第一象限内的交点为P.椭圆与y轴负半轴交于点B,且三点共线,分有向线段的比为1:2,又直线与双曲线的另一交点为,若.
(Ⅰ)求椭圆的离心率
(Ⅱ)求双曲线和椭圆的方程.
讲解:(Ⅰ)要求椭圆的离心率,可以先只考虑与椭圆有关的条件.注意到:三点共线,且分有向线段的比为1:2.所以,若设椭圆的方程为:
,
则点P的坐标为.代入椭圆方程,可解得椭圆的离心率.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆的方程为:,点P的坐标为.直线PB的方程为:
设双曲线的方程为:,则.
∵ 在双曲线上,
∴
化简得:.故.
将直线PB的方程代入双曲线方程,消去y,得:
.
解得.
从而.
∴ 椭圆方程为,双曲线方程为.
点评:解答本题,最大的问题在于:所给条件杂乱无序,不知从何入手.为此,应该理清头绪,层层递进,分步解答.
高考真题
1.(1988年全国高考题)直线L的方程,其中;椭圆的中心为,焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为.问:p在那个范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,他们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离.
2.(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
[答案与提示:1. ; 2]
F1 O F2 x
Q
B
y
P
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