中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第11讲 不等式的证明.doc

数学高考综合能力题选讲11 不等式的证明 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 证明不等式的基本方法有：求差（商）比较法，综合法，分析法，有时用反证法，数学归纳法．均值定理、适度的放缩、恰当的换元是证明不等式的重要技巧． 不等式的证明往往与其它知识（如函数的性质）综合起来考查． 范例选讲 例1 已知，求证： 讲解： 可以用比较法： 解1 ． 因为，所以，，所以， 所以，，命题得证． 解2 因为，所以，，所以， ， 由解1可知：上式1．故命题得证． 点评：比较法是证明不等式的基本思路． 例2 证明不等式：， 讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明． 解1 ①时，不等式的左端=1，右端=2，显然12， 所以，时命题成立． ②假设时命题成立，即：． 则当时， 不等式的左端 不等式的右端． 由于= ． 所以，，即时命题也成立． 由①②可知：原不等式得证． 从上述证法可以看出：其中用到了这一事实，从而达到了和之间的转化，也即和之间的转化，这就提示我们，本题是否可以直接利用这一关系进行放缩？ 观察原不等式，如果希望直接证明，需要把左端进行化简，直接化简是不可能的，但如果利用进行放缩，则可以达到目的，由此得解2． 解2 因为对于任意自然数，都有，所以， 从而不等式得证． 点评：放缩法是一种证明的技巧，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中考察．如本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异，以及希望把左式化简的目标． 例3 设，若，，, 试证明：对于任意，有. 讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示. ∵ , ∴ , ∴ . ∴ 当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得： ，， ∴ 综上，问题获证. 点评：用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论． 高考真题 （1985年全国高考）设a (n＝1,2,3), 证明不等式对所有的正整数n都成立． （1993年全国高考）如果关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0,证明: Ⅰ.如果|α|＜2,|β|＜2,那么2|a|＜4＋b|b|＜4; Ⅱ.如果2|a|＜4＋b|b|＜4,那么|α|＜2,|β|＜2.(93年(29)10分) （2001年全国高考）已知是正整数，且. (Ⅰ)证明 ； (Ⅱ)证明 . [答案与提示：1．放缩法，利用；　2．略； 3．利用排列数公式及二项式定理．]