中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第04讲 三角函数的图象与性质.doc

数学高考综合能力题选讲4 三角函数的图象与性质 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 我们在中学阶段所学习的函数的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，在三角函数中都可以得到充分的体现，而且，不仅仅如此，三角函数还具有对称、有界等其他性质．因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证．从这样一个角度出发，熟练掌握和运用三角函数的图象和性质，不仅是本章的要求，而且有助于我们对函数综合问题有进一步的理解． 范例选讲 已知函数（，且均为常数）， （1）求函数的最小正周期； （2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值． 讲解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如）、一种三角函数的形式． （1） （其中由下面的两式所确定：） 所以，函数的最小正周期为． （2） 由（1）可知：的最小值为，所以，． 另外，由在区间上单调递增，可知：在区间上的最小值为，所以，=． 解之得： 点评：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点．三角函数的值域经常与二次函数等其它问题综合，考察函数在确定区间上的最值． 设，试比较=与=的大小关系． 讲解 观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等． 初步判断便可以确定：、都是周期函数，且最小正周期分别为、．所以，只需考虑的情形． 另外，由于为偶函数，为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的的范围继续缩小？ 事实上，当时，0，恒成立，此时，． 下面，我们只需考虑的情形． 如果我们把看作是关于的余弦函数，把看作是关于的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性． 至此为止，可以看出：由于和同属于余弦函数的一个单调区间，（即，），所以，只需比较与的大小即可． 事实上， （）—=—= 所以，利用余弦函数在上单调递减，可得： ．也即 综上，． 点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题． 高考真题 1．（1998年全国高考）关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(xR)，: ①由f()＝f()＝0x1－x2；y＝f(x)y＝4(2x－)；y＝f(x)(－，0)；y＝f(x)x＝－. 其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上) 2．（1999年全国高考）函数在区间上是增函数，且 则函数在上 （A）是增函数 （B）是减函数 （C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值 3．（2000年全国高考）已知函数，． （1）当函数取得最大值时，求自变量的集合； （2）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [答案与提示：1. ②③ 2.（C） 3. （1）；（2）略．]