中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第02讲 函数的基本性质.doc

数学高考综合能力题选讲2 函数的基本性质 100080 北京中国人民大学附中 梁丽平 题型预测 函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。 范例选讲 对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。 讲解 不等式很容易让我们联想到二次函数： 基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系（），考虑使得恒成立的的取值范围。 对于每一个给定的，由于的二根分别为，记，，则的解集为： = 所以，当在区间上变化时，使得恒成立的的取值范围就是所有的交集。 因为，所以，的最大值为3，的最小值为。 所以，本题的答案应该为：。 上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把当作变量，而把其余的字母作为参数。而事实上，在上面的不等式中，与的地位是平等的。如果我们换一个角度看问题，即把作为自变量，而把作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法： 考虑关于的函数：， 可以看到：是关于的一次函数或常数函数，要使得对于满足的一切实数，恒成立，由函数的单调性可知，需且只需： 解之得：或。 点评 （1）不等式与函数有着千丝万缕的联系，通过适当的转化，可以使得问题的表述更接近于我们熟悉的知识，从而得解。（2）注意利用函数的性质解题。（3）注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时，也要敢于打破思维定势，换一个角度看问题。 设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线对称。且当时， （1）求函数的表达式； （2）在或的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上。 讲解 （1）注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。 当时，，由于与的图象关于直线对称，所以， 当时，，由为偶函数，可知： 所以， （2）因为为偶函数，所以，（）的最大值，必等于在区间上的最大值。故只需考虑的情形，此时，。 对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性。因此，我们不妨在区间上任取，设，则 如果,则，故0，即在区间上单调递增。所以，的最大值在取得，为。 令=12可解得： 如果，则的符号不能确定，为确定的单调区间，可令0 由于，要使上式成立，只需：，即，由此我们不难得知： 在区间上单调递增，在区间上单调递减。（证明略） 所以，在区间上的最大值为。 令=12，解之得：，与 矛盾。 综上可知：当时，的最大值为，当时，的最大值为。 并且，当时，函数的图像的最高点恰好落在直线上。 点评 （1）本题中，时，运用单调性去求的最值显然较为复杂。其实，如果我们注意到，且均非负，则可利用基本不等式得到下面较为简洁的解法： 等号当且仅当时成立。 然而，这种解法并不适用于的情形。也就是说：单调性与基本不等式在处理函数的最值问题时各有所长，对于本题来说，并没有一种普适的方法，只能分而治之。 （2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上。 高考真题 （2002年北京春季高考）已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明。 （1989年全国高考）设是定义在R上以2为周期的函数，k∈Z，表示区间(2k－1，2 k＋1)，时，.在上的解析表达式；k，＝{a|＝ax上有两个不相等的实根} [答案与提示：1.增函数，证明略。2. ①当时，；②对自然数k，＝]