第1章 函数、极限和连续PPT.ppt

例11 求 解 原式= 1.3 函数的连续性 一.函数的增量 定义1 若函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量由x0变到x时，函数对应的值由f(x0)变到f(x)，则差x-x0叫作自变量的增量，记作△x，即 △x= x-x0 差f(x)-f(x0)叫作函数y=f(x)在x0处的增量，记作△y 即 △y= f(x)-f(x0) 例1 设y=f(x)=3x2-1，求适合下列条件的自变量的增量△x和函数的增量△y。 (1)x由1变化到0.5；(2) x由x0变化到x0+△x。 解：(1) △x=0.5-1=-0.5， △y=f(0.5)-f(1)=(3×0.52-1)-(3×12-1)=-2.25 (2)△x=(x0+△x)-x0 =△x， △y=f(x0+△x)-f(x0)=[3×(x0+△x)2-1]-(3×x02-1)=6 x0△x+3(△x)2 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量x在点x0处的增量△x趋于0时，函数y=f(x)相应的增量△y= f(x0+△x)-f(x0)也趋于0，即 ，则称函数y=f(x)在点x0处连续，并称点x0为函数f(x)的连续点。 二.函数的连续性 定义3 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时函数y=f(x)的极限存在，且等于它在点x0处的函数值，即 ，则称函数y=f(x)在点x0处连续。 f(x)在x0连续的几何特征 曲线 y = f (x) 在 x0 点不断裂。 由定义可知，y=f(x)在点x0连续必须满足以下三个条件： (1)函数y=f(x)在点x0处有定义，即f(x0)是一个确定的数； (2)函数y=f(x)在点x0处有极限，即 存在。 (3)极限值等于函数值，即 例2 证明： 证毕 定理 连续性是函数的局部性质。 例2 解 f (x)右连续但不左连续 , 连续函数与连续区间 若 f(x)在区间 (a,b)内每一点处都连续，则称f(x)在区间(a,b)内连续，区间 (a,b)称为f(x)的连续区间。 若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在点a右连续，在点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。 连续函数的图形在连续区间上是一条连续而不间断的曲线。 几何特征 例3 验证函数y=sinx在(-∞,+∞)上连续。 证明：在(-∞,+∞)上任取一点x，当x有增量△x时，对应的函数增量为： 当△x→0时, 是无穷小量,且 根据定理3可知， 从而，有 为有界函数 仍为无穷小量， 故函数y=sinx在(-∞,+∞)上连续。 三.函数的间断点 间断点的分类： 不连续点 若函数y=f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则点x0是f(x) 一个间断点。 (1)函数y=f(x)在点x0没有定义； (2)函数y=f(x)在点x0有定义，但 不存在； (3)极限值不等于函数值，即 。 第一类间断点：左右极限都存在 第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在 例4 解： 注意：可通过修改函数在可去间断点处的定义，使其变为连续点。 解 如上例中, . 1 , 1 , 1 ; 1 ; 1 0 , 1 , 2 ) ( 处的连续性 在 讨论 = ? ? ? í ì + = ￡ = x x x x x x x f 例5 例6 解 注意：不要以为函数的间断点只能是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列各间断点类型: 例7 x1为跳跃间断点，x2为无穷间断点，x3为可去间断点。 x1、x3为第一类间断点，x2为第二类间断点。 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 例8 解 四、连续函数的运算法则 定理1 例如, 注意：极限符号可以与函数符号互换。 例9 求 解： 定理2 定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续。 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 (1)最大值、最小值定义 1.最值定理 设函数f(x)在区间 I上有定义的，若x0∈