传球问题的求解及拓展.doc

“传球问题”的求解及拓展 东莞市清溪中学 程旭升 排列组合问题的计算手段比较简单,但选择正确合理的计算方案并不容易,而且计算方案是否正确,往往难以用直观的方法来检验.这就要求我们在搞清概念、原理的基础上，还要具有较强的分析能力.“传球问题”就是典型的排列组合问题之一，在各类考题中常有出现. 传球问题 三人互相传球，由甲开始发球并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍然回到甲手中，则不同的传球方法共有 A．6种 B.8种 C.10种 D.16种 分析 “传球问题”主要考查学生分析问题和解决问题的能力，应用“树图枚举法”不难求解之.但当传球人数或传球次数较多时，这种方法就难以奏效.以下将探求“传球问题”的一般解法，得到此类问题的一般结论及其推广. 解法1. 考虑到传球次数不多，可用枚举法画出详细树状图（图1），图中“”表示传球方向，甲先传球给乙（上面的一条道路）到最后回到甲手中，共有五种传球方法；同理，甲先传示给丙，由对称 丙 乙 甲 乙 丙 甲 乙 丙 乙 丙 甲 （图1） 丙 … 甲 乙 丙 性可知也有五种传球方法.故共有10种人传球方法. 解法2.由于开始和结束时球都在甲手中，因此球最后一次传出前球必须不在甲手中，不妨把乙、丙统称为“非甲”，故只要确定中间几次传球的情况即可.传球线路如图2所示，图中“”表示传球方向， “”之上所附数字表示对应于此步的传球方法数. 甲 非 甲 非 非 非 非 甲 （图2） 甲 故传球的不同方法数是种. 上述两种方法都比较直观、容易理解，但耗时较多、容易遗漏，而且一旦题设增加传球人数或传球次数，计算量就会陡增.有没有更加普遍适用的方法呢？我们来考虑如下的多人次传球问题. 推广1. 多人次传球的问题 共个人相互传球，首先发球作为第一次传球，传球次后，（Ⅰ）球在手中的不同传球方法共有多少种？（Ⅱ）球在手中的概率是多少？ … 图3 分析 为直观起见，将上述问题的传球路径用图3表示.设经过n次传球后，球在手中的不同方法有种，球不在手中的不同方法有种，则有： ①；n次传球共有种不同的传球方法； ②经过n次传球后球要么在手中，要么不在，可得 ③若第n-1次传球后，球在手中，则第n次传球后球必不在手中；若第n-1次传球后，球不在手中，则第n次传球后球可能在手中； ④第n次传球后球在手中的方法数目等于第n-1次传球后球不在手中的方法数，即，且. 所以. 这是此数列的递推关系式，由可得，于是数列是首项为，公比为的等到比数列，即，解得. 结论1 个人相互传球，确定某个人首先发球作为第一次传球，传球次后，球在此人手中的不同传球方法有种；球在此人手中的概率. 推广2. 染色问题 现有三种不同颜色供选择染如图4所示的5个区域，要求相邻区域不同色，求不同的染色方法种数. 分析 染色规则:每次染色相当于把某个区域分配给一种颜色,相邻区域不能分配给同一种颜色. 将染色规则和传球规则类比：把三种颜色看为三个人，将区域看成球，把一次染色视为某个人得到一次球，则相邻区域不能染同一种颜色相当于“某人不能连续得到两次球”.这里的不同仅在于可以由任一种颜色开始，相当于把传球问题改为“从任意一人开始传球，球最后在第一次传球者手中的传球次数”. 由结论1计算公式得不同染法种数 所以我们可以得到如下的“染色”结论：有种不同颜色供选择染循环相邻的个区域，要求相邻区域不同色，则不同染法有种. 练习1 某人去五个城市旅游，第一天去城市，第七天到城市.如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市，那么他一共有多少种旅行行程安排方式？ A.204 B.205 C.819 D.820 练习2 如图5，一环开花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A.96 B.84 C.60 D.48 2 第1次传球 1 1 2 1 2 1 1 1 1 （m-1）种 第1次传球 （m-1）种 （m-1）种 第2次传球 （m-1）种 第3次传球 （m-1）种 第n-1次传球 （m-1）种 第n-2次传球 （m-1）种 第n次传球 2 4 3 1 5 图4穷匕见 A B C D 图5木舒克市5