从数学本质的角度把握递推数列的教学.doc

从数学本质的角度把握递推数列的教学内容极易膨胀an+1-an=d(). 接着问学生，能不能由这个式子求出通项公式，这时学生积极思考，由此得出求通项的三种方法――累加法、迭代法、恒等变形法. 之后，再问学生，等比数列的定义是什么？如何求等比数列的通项？用类比的方法得出――叠乘法、迭代法、恒等变形法. 最后配几个小例题： 题一：已知{an}中，a1=1,由下列条件求an(n(N*): (1)an+1=an+2n+5；（2）；（3）；（4） an+1= an+1；（5）an+1=2an+2n. 就这样，基本而重要的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法”被学生轻松地掌握了. 简评： ⑴这种讲法是让“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法”这些“新知识”从学生所熟悉的“旧知识”中生长出来的，学生感到自然有、亲切，接受起来顺当，似行云流水. ⑵这样的处理过程实质上就是对“数列”中数学思想的挖掘，就是对数学本质的揭示，“数列”中的数学思想还有等差数列前n项和中的“倒序相加法”，等比数列前n项和中的“错位相减法”. 数列的教学中长期以来存在一种现象――教师对教材中的知识，如：等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质讲清，甚至讲透了.　可是当学生掌握了这些知识之后，拿到一个数列综合题却还是没有一点思路，不知从何入手，这是为什么呢？ 其实，教材除了有有形（已写出来）的知识（即所谓“陈述性知识”）外，还有无形的――没有用文字描述的东西（也即所谓“程序性知识”），即知识之间的内在联系和思维过程，我们的教学存在的最大问题就是对“程序性知识”挖掘不够、不能讲清讲透.　由于陈述性知识是关于“是什么”的知识；程序性知识是关于如何做的知识.学生在听了老师的课后也能做一些类似的题，如：　　　　　　 题二：已知下列两数列{an}的前n项和Sn的公式，求它们的通项公式. （1）Sn=n3+n-1 （2）Sn=n2-1 然而当你把一个另一个由Sn求an的题拿给学生时，学生就傻眼了： 题三：设数列{an}的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,…)，求证：数列{ an }是等比数列. 这同样是一道由Sn求an的题，为什么就不会做了呢？ 我认为问题就出在我们是如何认识的，或者说这个式子的数学思想是什么？其数学本质是什么？我们有没有认清，我们有没有把这个式子的数学思想教给学生. 我认为的本质是揭示了数列的前n项和与其项的关系，既要能由项去求和，又要能由和的差去表示项.明白了这个道理之后，自然就会提出如何由Sn,Sn-1去求an或an-1的问题，为了出现Sn与Sn-1的差，就“逼着”我们去再找一个式子，于是方法就来了： 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,…) ① 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(t0,n=3,4,5,…) ② －②，得 简评： （1）我把这种方法叫做“用二次”，这是一种一说一做就明白的通俗解法.对于大量形式的由递推由通项的数列题目，此法一般总能奏效的.如： 题四：1.（2004全国Ⅰ理15）已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 . 2．数列{an}中，a1=1,且3(a1+a2+…+an)=(n+2)an,(n=2,3,…)，则an＝　　　　. 3．数列{an}满足：a1=1,a1+a2+…+an=n2an(n≥2)，则an＝　　　　　　 . 4．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n+1)( n+2)，则an＝　　　　　　. 5．数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2，都有a1a2…an=n2，则an=　　　　　. 6．整数数列{an}满足a1a2+a2a3+…+an-1an=，这样的数列的个数是　　　　. 7．已知数列{an},{bn}满足，且{bn}是等差数列，求证：{an}也是等差数列. 8． 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立，求c1+c2+c3+…+c2008的值. 9．设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，对任意，都有. (1)求证：； (2)求数列{an}的通项公式. (2)“用二次”法求数列的通项，简单明了，这正好印证了“真理总是简单的”科学论断，也深刻揭示了数学的本质是简单的，让学生不怕数学. “用二次”很简单，但功能却很强大，即使象2005年江苏卷第23题（压轴题）这样的难题，通过二次应用“用二次”也就攻克下来了.题目如下： 题