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 二次函数高考永恒的话题  摘要：二次函数——高考永恒的话题鄱阳县博文中学 徐志国二次函数是重要的数学基础知识,内涵丰富,应用广泛.在中学数学中,二次函数的身影随处可见.二次函数作为高考的重点... 关键词：高考,话题二次函数——高考,话题 类别：其它 来源：牛档搜索（Niudown.COM） 　　本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！ 二次函数——高考永恒的话题 鄱阳县博文中学 徐志国 二次函数是重要的数学基础知识，内涵丰富，应用广泛。在中学数学中，二次函数的身影随处可见。二次函数作为高考的重点内容之一，经久不衰，而且常考常新。以二次函数为题干的试题，形式多样、变化新颖。可以说二次函数是数学高考中永恒的话题。 一、二次问题的“三胞胎” 解一元二次不等式反映在数量关系上就是考查二次方程的根，反映在图形上就是考查二次函数的图象与x轴的关系。 例1：若不等式，设二次函数的最大值为M，最小值为N，则M+N=？ 解析： 二、二次函数的单调性与最值 二次函数的对称轴是最研究函数单调性的分水岭，是函数值变化的转折点，密切联系二次函数的极值和最值问题，其隐含的知识层次要求更高，难度更大。 二次函数的最值归纳起来，主要有三种形式（1）轴定区间定（2）轴定区间动（3）轴动区间定。后两者都可以归纳结为对称轴与区间的位置关系变化来加以研究。 例2：若的最小值为 （1）求的表达式。 （2）求能使的最大值。 解：（1） 令是定区间，于是有 当 当时取得最小值，即 当，即 综上所述： （2）当 由 由 此时 三、灵活运用二次函数的解析式。 （一）二次函数的解析式常用的三种形式。 1、一般式： 2、顶点式： 3、零点式： 上述的每个解析式都含有3个表示常数的参数，为确定每个解析式，都需要建立起三个方程，在本质上是一样的。 例3：已知二次函数满足，是的最大值为8，试确定此二次函数。 思路一：（一般式）设 则 思路二（顶点式）：设 思路三：（零点式）由已知得 例4：设二次函数满足。 （1）当 （2）设函数。 解题思路： 本题要证明的是由题中所提供的信息可以联想到：①在第一象限内有两个不同的交点；②方程它的两根为可得到之间的联系，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题： （1）先证明 。 因为又 根据韦达定理，有 ， 又，根据二次函数的性质，曲线是开口向上的抛物线，因此，函数在闭区间上的最大值在边界点处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于所以当时， 即 （Ⅱ） 函数的图象的对称轴为直线，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得，因为是二次方程的根，根据韦达定理得， 。 四、二次函数一元二次方程根的分布的关系 借助二次函数据图象可讨论方程实根分布的充要条件，一般方法为：根据题设中根的分布情况画去相应图象，依据（1）两根的函数值与零的大小关系；（2）对称轴的位置；（3）判别式列出相应的不等式（组），再通过不等式组使问题获解。 例5：已知实系数方程的两实根分别为且的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：答案为A，过程略 需要注意的是：一般地说来，如果两根分处在不同的区间，则只需考虑区间端点函数值即可；如果两根处在同一区间，则需要考虑以上的全部三方面。 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面的知识，使我们对它的研究更深入。