中考数学中的折叠问题.doc

?中考数学中的折叠问题 ? 　　近年来，在各地中考数学命题时，十分重视对图形语言、文字语音、符号语言的理解运用及相互之间的关系，相互之间的转化能力以及动手操作能力的考查。这样，图形的折叠问题就成为一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。 　　翻折问题的解决方法，抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，并运用代数方程，一般均可求得。 　　下面我们以中考题为例，谈谈翻折问题的几例类型及解法，供大家参考。 　　一、以矩形为母体的翻折 　　这种类型最多，以折痕的不同位置又可分下面几种： 　　1、沿对角线翻折 　　例1、(2000年山西省)已知：如图1，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。 　　分析：因为BD是对称轴， 　　∴∠CBD=∠C’BD， 　　又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB， 　　得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB 　　设ED=x，∴AD=8-x 　　在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， 　　即42+(8-x)2=x2， 　　∴x=5，∴ED=EB=5 　　又BD= 　　∴S△BED==10 　　方法2：过E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中， 　　EF=， 　　得S△BED=BD×EF=×4×=10 　　方法3：∵Rt△BEF∽Rt△BDC’， 　　∴EF：DC’=BF：BC’，得 　　EF== 　　(以下略) 　　2、沿一直线翻折，使一顶点落在对边上 　　例2、(2000年山东省)已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB上一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，如图2，则tg∠DCF=______。 　　A、　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、 　　分析：因为CF=CB， 　　∴CF：CD=5：4， 　　得CD：DF=4：3， 　　∴tg∠DCF==，应选(A)。 　　例3、(1998年台州市)如图3，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C折过来，使它落在AB上的C’点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是______。 　　分析：由题意知，DC’=DC=5，C’E=EC 　　在Rt△ADC’中，AC’==4， 　　得C’B=5-4=1 　　设EC=x，∴C’E=x，BE=3-x 　　在Rt△BEC’中，C’E2=C’B2+BE2，即x2=12+(3-x)2，得x=， 　　即EC= ∴S阴影=2××EC·DC=×5= 　　例4、(2001年宁波市)如图4，矩形纸片ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为b，则梯形ABFD的中位线长为______。 　　A、不能确定　　　　　B、2　　　　　C、　　　　　D、+1 　　分析：由翻折知DE=DC=6。又∵DE、DF三等分∠ADC，∴∠ADE=∠FDC=30°。 　　∴AD=DE·cos30°=6×=3， 　　CF=DC·tg30°=6×=2。 　　FB=BC-CF= 　　∴梯形ABFD的中位线为： 　　(AD+FB)=(3+)=2 　　3、沿一直线翻折，使折痕与边交已知角 　　例5、(2001年吉林省)如图5，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，当D、C分别落在D’、C’的位置上，若∠EFG=55°，求∠1=∠2的度数。 　　分析：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=555°，又∵∠DEF=∠FEG，∴∠1=180°-2×55°=70°，∠2=110°。 　　 　　4、沿一直线翻折，使对角顶点重合 　　例6、(1997年北京数学竞赛)如图6，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积为______。 　　分析：设AF=x，则FD=4-x，由折叠知，AD’=DC=3cm，D’F=FD=4-x。 　　∴在Rt△AD’F中，AF2=AD’2+D’F2， 　　则x2=32+(4-x)2，∴x= 　　S△AEF=AF·AB=××3= 　　二、以三角形为母体的翻折 　　1、沿三角形的中线翻折 　　例7、(2001年山西省)如图7，AD中△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C’的位置，则BC’与BC之间的数量关系是______。 　　分析：由翻折知，∠CDA=∠ADC’=45°，∴C’D⊥BC。且C’D=DC=BD=BC。在Rt△BDC’中，BC’=·BD=BC，得BC=BC’。 　　例8、(2000年广东省)如图8，在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把△ABC沿CE折叠，点A恰好与点B重合，如果AC=4cm，那么AB=______cm。