小学五年级奥数—数论之同余问题(可编辑).doc

小学五年级奥数—数论之同余问题 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数． 所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．、和的余数现知余数的和是试求该数的余数．，设该数为，则，即（为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17． 2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁． 华杯赛试题 如图，在一个圆圈上有几十个孔 不到个 ，小明像玩跳棋那样，从孔沿着时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到孔他先试孔跳一步，结果只能跳到孔他又试着每隔孔最后他每隔孔跳一步，正好孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? …，B孔的编号就是圆圈上的孔数． 我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1． 同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数． 如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为，则（为非零自然数）而且能被7整除．注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他 小于的7 倍数加1都不能被7整除，而已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是． 1997年全国小学数学奥林匹克试题 将依次写到第个数字，组成一个位的余数是 共有9个数字，共有90个两位数，共有数字： 个 , 共900个三位数，共有数字： 个 ,所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是： 组 ，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为． 设是质数，证明：，，…，被除所得的余数各不相同． 假设有两个数、， ，它们的平方，被除余数相同．那么，由 同余定理得，即，由于是质数，所以或，由于，均小于且大于0，可知，与互质，也与互质，即，都不能被整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证． 试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和． 通过逐次计算，可以求出被11除的余数， 依次为：为3，为9，为5，为4，为1，…， 因而被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……；类似地， 可以求出被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……； 于是被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，……； 这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意， 即时能被11整除，所以， 所有满足条件的自然数n的和为： ． 若为自然数证明，由于与的奇偶性相同，所以． ，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余数为1、2、3或者4，被5除的余数为、、、被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1，所以不管为多少，被5除的余数为1，而，即14个相乘，所以除以5均余1，则能被5整除，有．所以． 由于2与5互质，所以． 设n为正整数，，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值． 2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以被7除余数为2，被11除余数为3． 由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余数为1； 由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余数为8． 可见是3和10的公倍数，最小为，所以n的最小值为28． 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写，． 依题意可知：，，，根据整除的性质对这三个算式进行变换： 从上面可以发现应为15、17、19的公倍数． 由于，所以 因为是奇数 ，可得