非线性时间序列 第四章.doc

第四章 参数非线性时间序列模型 对分析时间序列数据来说，ARMA模型长期持续地普及令人信服地证明了线性模型的有用性. 不过，鉴于任何统计模型都是对现实世界的近似，线性模型只是凭借数学公式来解释未知动态关系的第一步. 世界其实是非线性的！因此，存在大量的经验证据指出线性ARMA族的局限性并不令人吃惊. 为了给大量的非线笥现象建模，比如超越线性相关的相依性，我们需要非线性模型. 在本章中，我们给出一些参数非线性模型和它们的统计推断. §4.1对条件均值函数的门限建模提供了一个入门介绍. §4.2致力于说明非常条件方差函数ARCH建模——一种称之为条件异方差的现象.§4.3则简要叙述双线性模型. 4.1 门限模型 在几乎所有学科中，线性逼近作为一个强有力的工具用于大量的科学研究中. 然而，当我们处理非线性问题时，比如建模非线性动态，全局线性律常常是不适合的. 例如，假定在经济或动物种群中扩张相被作为收缩相的同一个线性动态所控制，这似乎显得缺少智慧. 由于全局二次（或高阶）自回归形式实际上是不稳定的，一个自然的替代也许是把全局线性逼近分成几段；在状态空间的每个子集上有一个线性逼近. 在门限原理的大伞下（Tong 1990的§3.3），有一类非线性时间序列模型，它建模非线性动态是基于“分段”线性逼近，即把状态空间分割成几个子空间，每个子空间上使用线性逼近. 分割实际上由所谓的“门限”变量来指定. 在本节，我们提出一个简单而常用的形式——门限自回归模型，重点放在Tong（1990）之后的发展上. 我们介绍一些关于估计、检验和模型识别的方法，并通过一个实际数据例子来说明这些方法. 4.1.1 门限自回归模型 定义4.1 具有分段的门限自回归（TAR）模型定义为 ， （4.1） 其中是一些未知的正整数，且是未知参数，构成的一个分割，其含义是对所有的，且. 在以上模型中，我们在每一个上拟合一个线性形式. 分割由门限变量指定，称为延迟参数. 通常（但不总是）的情形是. 在此情形，称为门限. 这个模型最初由H. Tong在1977年引进，事实上，它是自激励门限模型的一个特殊类型；见Tong和Lim（1980）及Tong（1990）. 它已广泛地用于各种不同的领域建模非线性现象，包括经济（Tiao和Tsay, 1994, Hansen, 1999），环境科学（Mélard和Roy, 1988），神经科学（Pemberton, 1985）和人口动力学（Stenseth et al., 1999）. 它的成功部分地在于它在模型拟合，也许更重要的是在模型解释这两方面的简单性. 通过分割状态空间建模非线性，平稳性可以被保持. 这明显地不同于变点模型，后者的控制开关按时间发生，其结果导致非平稳过程. 不幸的是我们关于TAR模型的知识仍处于发展中. 我们还没有像线性ARMA模型那样的全面的理论和方法. 由定理2.4易见，如果（a），（b）或者，或者，其中见模型（4.1）有严平稳解. 注意，这些条件是充分的，但不是必要的；见模型（2.14）. 两个随机变量的线性相关有清晰的定义. 因此，正如我们在第三章已经看到的那样，时间序列的自相关性可通过在建模自线性关系中起着关键作用的自相关函数（ACF）很好地掌握. （注意，PACF是相应ACF的函数；见命题（2.3））. 不幸的是，对表示非线性相依一般地没有类似的ACF. 已经做了各种尝试来定义非线性相依/相伴的适当度量；或者局部化，或者全局的. 但是，它们不像分析线性关系时ACF和PACF那样简单和易于图示. 事实上，我们在此有一个自相矛盾的地方；建模非线性现象比线性更复杂且更困难，有用的工具缺乏广泛性和有效性. 因此，在非线性建模中，像图方法（Tong, 1990的§5.2）、背景信息、非参数和参数方法等数据探索和数据分析的方法在识别适当（参数）的形式时起着重要的作用. 对线性性的统计检验是验证非线性的常规实践. 在以下§4.1.4的一案例研究中，我们将说明这些思想的一部分. 为了拟合一个低维结构，相对于它的延迟值所画的时间序列变量的散点图几乎与任何更复杂的工具同样有用. 为了说明这个思想，我们考虑如下具有两个分段的简单TAR模型： （4.2） 其中是独立变量. 取分别等于和，我们由以上模型生成四组样本（每组的长度为500）. 图4.1描绘了这四个样本序列的散点图. 对，模型变成线性AR（1）. 对其他三种情形，非线性在这些图中被清楚地显示出来. 另一方面，尽管ACF和PACF图还有用，但已不能作为相依性解释的最终度量. 例如，图4.2（a）指出，尽管由（4.2）定义的和之间显著相依，但当时，却很难有明