11_4高斯公式.ppt

* * 运行时, 点击按钮“P16” ,可显示三度的含义. * 例16 ( L.P339例4 ) 第四节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 高斯公式 通量与散度 第十一章 0*、梯度、散度 与旋度 定义: 设矢量场 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 F 在点 M 的散度. 记作 0、梯度、散度 与旋度 记作 称为向量场 F 在点 M 的旋度. I、线性规则 若 是可微的数量函数，则 II、乘积规则 注意： III、链规则 练习1、设 f二次可微，求 其中 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的有向闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: ? 的方向取外侧,矢量场 面? 所围成, 则有 (Gauss 公式) 即： 证明: 设 为XY型区域 , 则 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 例1. 用Gauss 公式计算 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 ? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 利用重心公式, 注意 例3. 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例4. 设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式.(见 P171) *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ?为G内任一闭曲面, 则 ① 证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ② “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由高斯公式得 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧, 三、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有泉; 表明 ? 内有洞 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 ③ 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为?, 设? 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点M 处的特性, 在③式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场. 说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且 *例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 解: 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符. 内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 2. 通量与散度 设向量场 P,