线性分组码-Read.ppt

5.1 一般概念 5.2 一致监督方程和一致监督矩阵 5.3 线性分组码的生成矩阵 5.4 线性分组码的编码 5.5 线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 5.6 线性分组码的译码 5.7 线性分组码的性能 5.8 汉明码 5.9 由已知码构造新码的方法 5.10 线性分组码的码限 线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步： 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成； 编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信息码组变换成 n 重 (nk) 码字，其中 (n－k) 个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。 信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则有 2k 个码字与它们一一对应。 名词解释 线性分组码：通过预定的线性运算将长为 k 位的信息码组变换成 n 重的码字 (nk)。由 2k 个信息码组所编成的 2k个码字集合，称为线性分组码。 码矢：一个 n 重的码字可以用矢量来表示 C=(Cn－1,Cn－1,…,C1,C0 ) 所以码字又称为码矢。 (n,k) 线性码：信息位长为 k，码长为 n 的线性码。 编码效率/编码速率/码率/传信率：R=k /n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一个重要参数。 (1) 一致监督方程 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模2和。 举例：k=3, r=4，构成 (7,3) 线性分组码。设码字为 (C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0) C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，每个码元取“0”或“1” 监督元可按下面方程组计算 一致监督方程/一致校验方程：确定信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程/校验方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程/一致校验方程。 由于一致监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。 (2) 举例 信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 代入 (5.1) 得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 由信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。其它7个码字如表5.1。 (3) 一致监督矩阵 为了运算方便，将式(5.1)监督方程写成矩阵形式，得 式(5.2)可写成 H? CT=0T或 C? HT=0 CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。 系数矩阵 H 的后四列组成一个 (4×4) 阶单位子阵，用 I4 表示，H 的其余部分用 P 表示 推广到一般情况：对 (n,k) 线性分组码，每个码字中的 r(r=n－k) 个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定 令上式的系数矩阵为 H，码字行阵列为 C (4) 一致监督矩阵特性 对H 各行实行初等变换，将后面 r 列化为单位子阵，于是得到下面矩阵，行变换所得方程组与原方程组同解。 监督矩阵H 的标准形式：后面 r 列是一单位子阵的监督矩阵H。 H 阵的每一行都代表一个监督方程，它表示与该行中“1”相对应的码元的模2和为0。 H 的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如 (7,3) 码的H 阵的第一行为 (1011000)，说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和，依此类推。 H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就能方便地确定H 阵本身的秩。 (1) 线性码的封闭性 线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 定理5.1：设二元线性分组码 CI (CI表示码字集合) 是由监督矩阵H所定义的，若 U 和 V 为其中的任意两个码字，则 U+V 也是 CI中的一个码字。 [证明]：由于 U 和 V 是码 CI 中的两个码字，故有 HUT=0T，HVT=0T 那么 H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n 维线性空间中的一点。长为 n 的所有 2n 个矢量集合构成了GF(2)上的 n 维线性空间Vn。把线性码放入线性空间中进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。 (n,k) 线性码是 n 维线性空间Vn中的一个 k 维子空间 V