大学数学第1章： 函数、极限、连续.ppt

三、函数模型的建立 P F α 第二个重要极限： （1）此极限主要解决1∞型幂指函数的极限 说明： （2）它可以形象的表示为：（其中□表示相同的 变量或表达式） 或 例2 证明： 例1 求 解：原式= 证明： 即当x→0时，ln(1+x):x 例3 　　解　方法一　令 u = -x， 因为 x ? 0 时 u ? 0， 所以 方法二　掌握熟练后可不设新变量 例 4 解　因为 所以令 u = x - 3 ，当 x ? ? 时 u ? ? ， 因此 练习 求下列极限 利用无穷小量计算极限 等价无穷小替换定理： 证： 本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小 量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换 常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换， 而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极 限过程一般不能用等价无穷小代换。 常用的等价无穷小量 当x→0时， x:sinx; x: tanx; x: arcsinx; x: arctanx; x: ln(1+x) x:ex-1 , 1-cosx:?x2 例1 求 例2 求 解 当x→0时，sin2x:2x，ln(1+x):x，所以 若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 　　因为，虽然 tanx ? x，sinx ? x ，但 tanx-sinx ? 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的。 是错误的。 则 例3 例3 解：原式= 本节内容 1.5.1 函数的连续性 1.5.2 连续函数的运算 1.5.3 初等函数的连续性 1.5.4 间断点 1.5.5 闭区间上连续函数的性质 1.5 函数的连续性 连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反 映了许多自然现象的一个共同特性。例如，气温的变化、动植 物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化 着。这些现象反映在数学上，就是函数的连续性。 1.5.1 函数的连续性 从下图所表示的函数图象看，函数在点x1 、 x2和x3是间断的， 在其余的点是连续的。 定义1 设函数f (x)在x0的一个邻域内有定义，如果 函数f (x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的 函数值f (x0)，即 那么就称函数f (x)在点x0处连续，称x0为函数的连续点。 根据定义可以得知：函数在点x0处连续的充分且必要的条件是： ①f (x0)存在； ② 存在； ③两者相等 　　记 ?x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量， 　　记 ? y = f (x) - f (x0) 或 ? y = f (x0+ ?x) - f (x０) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量。 　那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为： 定义 2　设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 如果 则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。 N 若函数 y = f (x) 在点 x0 处有： 则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续。 　　由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件 可表示为： 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续． 例 1 证　因为 且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续， 所以它在 x = 0 处连续 。 ≤ 定理1 若函数f (x)和g (x)均在x0处连续，则f (x) +g (x) ，f (x)-g(x)， f (x) ·g (x)在该点亦均连续， 又若 g(x0) ? 0， 则 在 x0 处也连续. 定理3 若函数y=f (x)在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数 x= f -1(y)在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相 同，即它们同为递增或同为递减. 定理4 初等函数在其定义区间内是连续的. 定理2 设函数y = f (u)在u0 处连续，函数u = ? (x)在x0处连续， 且u0 = ? (x0)，则复合函数f [? (x)]在x0 处连续 . 1.5.2 连续函数的运算 例2 求极限 解： 复合而成的。 ，而 是由 和 而 ，且lnu 在 u=e处连续。 故 1、 求