中考数学压轴题函数相似三角形问题.doc

中考数学压轴题:函数相似三角形问题 例1直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线经过A、C、D三点． 1) 写出点A、B、C、D2) 求经过A、C、D三点的抛物线3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． △ABQ与△COD相似A(3，0，B0，1，C0，3，D(1，0)A(3，0C(0，3D(－1，0) 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4．（3）．．．． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当时，．解得．所以，． ②当时，．解得．所以，． 图2 图3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是． 我们换个思路解答第（3）题： 如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．．△BGH中，，． ①当时，． 在Rt△BQN中，，． 当Q在B上方时，；当Q在B下方时，． ②当时，．同理得到，． 例2 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2． （1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； （3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况． 思路点拨 1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴． 3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答 （1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上，所以 整理，得n＝2m． （2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 已知△BDE的面积为2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)． 因为点D（4，1）在反比例函数的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为． 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，． 因此直线AB的函数解析式为． 图2 图3 图4 （3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况： ①如图3，当时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ②如图4，当时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． 考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况： 第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 图5 例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围