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中考数学压轴题函数直角三角形问题 例1 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． ①当线段时，求tan∠CED的值； ②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E或F在y轴上运动，可以体验到，△CDE有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ＝3”可以准确显示时的位置． 思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题． 2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系． 3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了． 满分解答（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为． （2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得 解得，．所以直线BC的函数表达式为． （3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，． 进而得到，点E的坐标为． 直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）． 过点D作DH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED． ②，． 图2 图3 图4 考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是： 如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标． 例2 设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线． （1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）； （2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA． 答案 （1）直线①和③是点C的直角线． （2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1． 如图2，当OP＝6时，l1：， l2：y＝－2x＋6． 如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：． 图2 图3 例3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上． （1）求点B的坐标； （2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）． ①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； ②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线． 思路点拨 1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了． 2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长． 3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析