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中考数学压轴题函数等腰三角形问题 例1 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值； （3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）． 图1 图2 动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换． 思路点拨 1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解． 3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C． 满分解答 （1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)． （2）在△APD中，，，． ①当AP＝AD时，．解得（如图3）． ②当PA＝PD时，．解得（如图4）或（不合题意，舍去）． ③当DA＝DP时，．解得（如图5）或（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或． 图3 图4 图5 （3）点H所经过的路径长为． 考点伸展 第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得． 第（2）题的思路是这样的： 如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°． 图6 图7 例2 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求点A和点B的坐标； y轴于点C，过点B作直线l//y轴．点P以每秒1个单位的速度沿OC—A的路线向点A运动同时线AO于点Q．当点到达点停止运动．以、、为顶点的三角形三角形三角形 得 所以点A的坐标是(3，4)． 令，得．所以点B的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6． 因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8． 图2 图3 图4 ②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B． 如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴． 因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7． 在△APQ中， 为定值，，． 如图5，当AP＝AQ时，解方程，得． 如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得． 如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得． 综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形 图5 图6 图7 考点伸展 当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解． 例3 如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C4, 0)，M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P． (1)求证：MN∶NP为定值； (2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长； (3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长． 图△BNP与△MNA△BNP