n维氢原子的散射态.doc

 物 理 学 报 第 52 卷 第 4 期 2003 年 4 月 100023290Π2003Π52 (04) Π0781205 Vol . 52 ,No . 4 ,April ,2003 ν 2003 Chin. Phys. Soc . ACTA PHYSICA SINICA n 维氢原子的散射态 3 陈昌远 孙东升 刘成林 陆法林 ( 盐城师范学院物理系 ,盐城 224002) (2002 年 7 月 16 日收到) 研究了 n 维氢原子的散射态性质 . 给出了精确的按“ kΠ2π 标度”归一化的散射态的精确解波函数及相移表达 式 ,讨论了相移的解析性质 ,获得了束缚 - 连续跃迁矩阵元的解析计算公式 . 普通氢原子 ( n = 3) 散射态的有关结果 作为特例包含在本文的一般结论之中. 关键词 : n 维氢原子 , 散射态 , 精确解 , 相移 , 束缚 - 连续跃迁矩阵元 PACC : 0365 , 0365N , 0380 采用 n 维球坐标系 ,波函数可分离变量 11 引 言 u ( r) Ψ ( x) = (θ Y ,θ , ( n - 1) Π2 J n - 2 J n - 3 J 1 J 0 n - 2 n - 3 r ,θ1 ,θ0 ) , (2) n 维氢原子和 n 维谐振子都是量子力学中精确 可解的问题之一[ 1 —13 ] ,但两者不同之处在于 , n 维谐 振子仅有 束 缚 态 解 , 而 n 维 氢 原 子 除 了 束 缚 态 解 外 ,还应当有散射态解 ,通常的氢原子 ( n = 3) 就有 散射态解[ 4 ,13 ] ,所以 n 维氢原子是有散射态解存在 的 . 在以前的工作中 , 人们着重研究的是 n 维氢原 子的束缚态性质 ,这包括精确的能谱方程和归一化 的解析波函数[ 4 ,6 ,8 —10 ] 、径向矩阵元的通项 公 式[ 10 ] 、 递推关系[ 11 ] 、平均值的解析表达式[ 12 ] ,四类升降算 符[ 5 ,6 ,14 ] 等 . 但散射态解的结果还未见有报道 . 本文的主要目的就是对 n 维氢原子的散射态 性质进行讨论 . 首先给出解析的按“ kΠ2π 标度”归一 化的散射态径向波函数 ,然后讨论相移的解析性质 , 并对束缚 - 散射跃迁矩阵元进行计算 . 由于通常的 氢原子为 n 维氢原子中 n 取 3 的特例 ,所以文献中 氢原子散射态的有关结果均作为特例包含在本文的 一般结论之中. 式中 0 ≤| J 0 | ≤ J 1 ≤ ≤ J n - 3 ≤ J n - 2 , YJ J J J (θn - 2 ,θn - 3 , ,θ1 ,θ0 ) 为 n 维空间的球 n - 2 n - 3 1 0 函数 , J n - 2 为 SOn 群的 Casimir 算子的量子数 ,其值 为 0 和正整数 . 于是得径向方程为 2 d u + 2 m E - 2 m 2 V ( r) 2 2 d r h h - ( J + n - 2) J n - 2 n - 2 n - 1 n - 3 u ( r) = 0 . (3) + 2 2 取自然单位 ( h= m = e = 1) ,把 n 维氢原子势 V ( r) 1 代入上式 ,则 (3) 式化为 = - r 2 d u + 2 2 k + - ( J + n - 2) J d r2 n - 2 n - 2 r n - 3 n - 1 21 散射态的精确解 u ( r) = 0. (4) + 2 2 式中 k = 2 E . 对于散射态 , E 0 ,所以 k 0. 边界 条件为 u (0) = 0 . 考虑到 r = 0 领域的边界条件 ,作 函数代换 n 维空间各向同性势 V ( r) 的定态 Schr?dinger 方 程为[ 4 ,6 ,9 ] 2 m V ( r) + 2 m E Ψ ( x) = 01 2- (1) h2 h2 C ( kr) J n - 2 + ( n - 1) Π2 ei krf ( r) , u ( r) = (5) 3 江苏省教育厅自然科学基金 ( 批准号 :02 KJB140007) 和盐城师范学院专项基金资助的课题 1 1 2 r 1 r2 把 (5) 式代入 (4) 式得到 则 2 Γ( J n - 2 + ( n - 1) Π2 + iΠk) r d f d f + (2 J + n - 1 + 2i kr) d r2 n - 2 d r - iδ Γ( J n - 2 + ( n - 1) Π2 - iΠk) | e J n -