同济五版高等数学第一章函数与极限第十节闭区间上的连续函数的性质.ppt

函数与极限 第十节 1.10 闭区间上连续函数的性质 二、介值定理 小结 * * 二、介值定理 一、最大值和最小值定理 闭区间上连续函数的性质 第一章函数与极限 定义: 例如, 一、最大值和最小值定理 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证 由定理1 定义: 此定理又称为根的存在性定理 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续 的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间 的任何值. 例1 证 例2 证 由零点定理, 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . 例3 例4 验证方程 至少有一个正根不大于 证 设 由根存在定理，至少 例5 设 证 假设 则至少 则至少 与已知矛盾，故 例6 证 由零点定理, 解题思路： 辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 四个定理： 有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意条件　1．闭区间； 2．连续函数．这两点不满足，上述定理不一定成立． 难点：做辅助函数,再利用零点定理证明等式 重点：最值定理;介值定理;根的存在性定理 * *