关于中学数学知识和大学数学知识的一些比较.doc

关于中学数学和大学数学的数学A Comparison of Knowledge between College Mathematics and Middle School Mathematics Abstract Mathematics is used in varying degrees in every single aspect of our daily lives, especially in the information age. We need to have a strong understanding of the fundamentals and methods of mathematics. The purpose of this study is to compare the knowledge and understanding of college mathematics and middle school mathematics. This paper is divided into two sections, it discusses limit and inequality, some examples are also given to illustrate typicals methods for solving problems. Keywords: limit ,inequality; 引言 在中学和大学数学课程中，都有极限、不等式这两部分的内容. 但是通过对大学数学的学习，我们的知识水平和理解能力都有很大的提高. 本文就上面提到的两个知识点,用大学的观点进行探讨，旨在培养自觉学习、勤于思考的习惯和勇于钻研的精神. 同时，我研究此课题，不仅仅是想对自己大学四年所学的基础数学知识作一个比较简短的总结，更是想使未来从事中学教师岗位的大学生对中学教学内容中某些理论深度有进一步了解，对实质性的认识进一步深化，对不够完整的知识进一步充实，掌握初等数学方法，从而提高大学生对大学数学的重视. 此次研究,我得到了牧立武老师的指导,他仔细审查和修改了我的课题,叫我受益匪浅,我表示衷心的感谢. 一、极限 学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极限问题是认识和解决问题的需要. 极限又分数列极限及函数极限.下面将分别对它们作出一些简单的探讨. 1.1 数列极限 在高中，我们就已经开始接触了数列极限，总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点培养的是学生的解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是学生的抽象思维能力及逻辑思维能力. 高中我们给出了数列极限的概念： 如果当项数无限增大时，无穷数列{}的项无限地趋近于某个常数(即无限地趋近0)，那么就说数列{}以为极限，或者说是数列{}的极限. 数学分析里边也给出了数列极限的概念： 一般地说，对于数列{}，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列. 中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了“收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的精确定义. 定义1.1 设{}为数列，为定数，若对,总存在正整数，使得当时，有 , 则称数列{}收敛于，定数称为数列{}的极限.并记作. 若数列{}没有极限，则称{}不收敛或称{}为发散数列. 有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称＂＂定义）来证明高中数列极限中所用的结论. 例1-1 证明 . 在中学，我们直观地知道，当时，=，.这仅仅局限于直观得出结论，然而，在大学，我们可以通过极限的＂＂定义来证明这个结论的正确性. 证明：由，有，即，. 对，则当时，有 , 即. 利用””定义，同样可以证明在中学就常用的数列极限的四则运算法则. 例1-2 证明 ，其中（）. 证明：由于， 故对于，分别存在正数，使得 当 ; （1） 当 . （2） 取 . 由收敛数列的有界性定理，,对一切，有.因此，当时，由（1）、（2）、（3）式可得 . 又由的任意性，因此有. 在数学分析教材里，还给出了数列极限的一种等价定义 定义1.2 对，若在之外，数列{}中的项至多只有有限个，则称数列{}收敛于极限. 有时用此定义证明某些数列极限问题更为简便. 例1-3 设 证明 . 证明：由，故 对任取的，数列{}与数列{}中落在之外的项至多只有有限个，因此数列{}中落在之外的项也至多只有有限个. 由定义2，. 运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上