高三数学总复习-指数与指数函数.pptVIP

共 66 页 第五节 指数与指数函数 3.有理指数幂的运算性质 设a0,b0,则 aras=ar+s(r,s∈Q); (ar)s=ars(r,s∈Q); (ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数. 5.指数函数的图象与性质 5.(2010·山东青岛二模)若y=e|x|(x∈[a,b])的值域为[1,e2],则点(a,b)的轨迹是图中的(　　　) A.线段BC和OC B.线段AB和BC C.线段AB和OA D.线段OA和OC 题型一 指数函数的图象 解题准备:指数函数图象的特点 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对 位置与底数大小的关系如图所示,则0cd1ab. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大. [分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域. 解题准备:(1)复合函数问题,应细致分析由哪些基本函数复合而成,讨论此类函数的单调性应分层逐一求解; (2)换元法,通过换元将复杂的问题简单化,求解过程应注意中间变量的取值范围及转化的等价性. [分析]求定义域与值域时可根据指数函数的概念和性质,结合函数自身有意义去求,对复合函数的单调区间通常利用复合函数的单调性,“同则增,异则减”的原则. (2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t0,f(t)=t2-2t-5, 故f(t)=(t-1)2-6.又∵t0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间. ∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增. 故由t=2x≥1得x≥0; 由t=2x≤1得x≤0, ∴f(x)的增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0]. 题型三 指数函数的综合问题 解题准备:指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方法. [分析]先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性;对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析;对于恒成立问题,则可借助单调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围. (2)当a1时,a2-10, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数, 所以f(x)为增函数. 当0a1时,a2-10, y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. [剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞). [评析]换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元的范围,因为它是换元后的新函数的定义域. 【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,试求a的值. [正解]设t=ax, 则y=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3或a=-5(舍); 当0a1时,t∈[a,a-1], ymax=(a-1)2+2a-1-1=14, 解得a=?或a= (舍). 故所求a的值为3或? . 技法一 快速解题(构造函数) 【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y3-y+5-x,则下列式子成立的是( ) A.x+y0 B.x+y0 C.x-y0 D.x-y0 一?若底数相同,则可用单调性比较 【典例2】若0a1,则a,aa,aaa大小顺序是________. [解析]因为f(x)=ax(0a1)在x∈R上是减函数,又0a1,所以a0aaa1, 所以aa0aaaaa1,即aaaaaa. [答案]aaaaaa 【典例3】比较0.7a与0.8a的大小. [解]设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图. 当x=a≥0时,0.8a≥0.7a; 当x=a0时,0.8a0.7a. [方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比较,利用图象法求解快捷而准确. 三?若底数与指数均不同,则可用中间值1 【典例4】比较30.4与0.43的大小. [解]因为y=3x是增函数,所以30.430=1,又y=0.4x是减函数,所以0.430.40=1,故30.40.43. 四?作商法比较 【典