高三数学总复习-函数的周期性.pptVIP

* 周期性 对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么 f (x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. 也是 f (x)的周期，即有 . f (x+k T)=f (x) f (x+T)=f (x) T kT(k∈ Z ,k≠0) 第四课时 函数的周期性 根据定义，若f(x)为周期函数，且f (x1)=f (x2)，则它的一个周期T=|x1-x2| A 定义法 【变式练习2】 已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋6)，求f(2012)的值． 【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2， 则f(u)＝f(u＋4)，所以函数f(x)的周期为3. 依题意，f(0)＝0，且2012＝503×4， 所以f(2012)＝f(0)＝0. 换元法 定义法 【学生展示1】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x+2) = -f (x),求 f (2012)的值. 【解释】 ∵f (x+2)=-f (x), ∴f (x+4)=-f (x+2). ∴f (x+4)=f (x). ∴f (x)是周期函数，周期为4. ∴f (2012)=f (4×503)=f (0).又f (x)是R上的奇函数，∴f (0)=0.∴f (2012)=0. 【变式题：】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 , 求 f (2012)的值. 【学生展示2】 定义在 R 上的函数y=f (x)，满足 f (x+1)+f (x)=0，且在区间[-1，0]上单调递增， 设a=f ( )，b=f (2)，c=f (3)，则 ( ) c＜a＜b B. b＜c＜a C. c＜b＜a D. a＜b＜c 【答案】 A f (x)是周期为2的周期函数. ∴a=f ( )=f ( -2)， b=f (2)=f (0), c=f (3)=f (-1). 又f (x)在区间［-1，0］上单调递增,∴c＜a＜b. 注意结论特征：自变量x前的系数同号。否则不成立。 1.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（-x+2）+f (x)=0,则 f (x)是 ( ) A. 常函数  B. 偶函数 C. 周期为2的周期函数 D. 周期为1的周期函数 【解析】 ∵f (-x+2)=-f (x)=f (-x), ∴f (x+2)=f (x),∴选C. 【答案】 C 1 考点 函数周期性的判断及其应用 【名师示范1】函数 f（x）的定义域为 R ， 且 f (x)与f (x+1）都是奇函数，则 f (x)的周期是 . 分析 求周期即求满足 f（x +T）= f (x)的T值. (定义法) ∵f (x)及f (x+1)都是奇函数， ∴f (-x)=-f (x) ① f (-x+1)=-f (x+1) ② 由②得f [-(x-1)]=-f (x-1)=-f (x+1), 即f (x-1)=f (x+1) ③ ∴f（x）的周期为2. 2 （换元法） ∵f (x)及f (x+1)都是奇函数， ∴f (-x)=-f (x) ① f (-x+1)=-f (x+1) ② 设t=-x+1,则x=1-t由②得f (t)=-f (2-t), 即f (-t)=f (2-t) ③ ∴f（x）的周期为2. 0.3 *