第六章有限域.PDF

第六章有限域 第一部分代数学基础 1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域 第一部分代数学基础 1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域 什么是域  F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个二 元运算，对这两个运算封闭  加法满足：对于任意a,b,c ∈F  a+b=b+a；交换律  (a+b)+c=a+(b+c)；结合律  存在0 ∈F，使得a+0=a；有零元  存在-a ∈F，使得a+(-a)=0；有负元 什么是域？（续）  乘法满足：对于任意a,b,c ∈F  a·b=b·a；交换律  (a·b) ·c=a·(b·c)；结合律  存在e ∈F，使得a·e=a；有单位元  若a不是零元，存在a-1 ∈F，使得a·a-1 =e；有逆元  乘法对加法满足分配律  a·(b+c)=a·b+a·c 域的例子  Q，R，C a b 2 , a,b Q 群  什么是群？  集合  定义一个二元运算  二元运算满足封闭性、结合律  有单位元  有逆元  若满足交换律，则称为交换群，此时群中运算 可认为是加法，也称为加群 域的定义简化  F是一个非空集合，定义了加法、乘法两个二 元运算，对这两个运算封闭  对于加法构成交换群  非零元对于乘法构成交换群  乘法对加法满足分配律 群的例子  {Z，+}  数域K中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法构 成群称为n阶一般线形群，记为GL (K); n GL (K)中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的乘 n 法也构成群，称为特殊线形群，记为SL (K)。 n 环  集合  集合+加法+乘法  加法交换群  乘法满足结合律  加法和乘法满足分配律  环中乘法不一定有单位元也不一定要满足交换 律  满足乘法交换律的环称为交换环 环的例子  全体有理数、全体实数、全体复数和全体整数 集合对于普通的加法和乘法构成交换环．  {Z,+, ×}  n ×n可逆矩阵,乘法,加法?  n ×n矩阵,乘法,加法 域  有单位元的交换环  非零元构成乘法交换群 群的阶、子群 定义 如果一个群G中元素的个数是无限多个， 则称G是无限群；如果G中的元素个数是有限 多个，则称G是有限群，G中元素的个数称为 群的阶，记为|G|． 子群：群G的非空子集H称为G的子群，如果对 于G的运算，H本身成一个群。如果H为G的子群 且H≠G，则H称为G的一个真子群。 元素的幂 由于群里结合律是满足的，所以元素连乘 1 2 n a ，a ，…，a 有意义，它也是G中的一个元．我们把a n 的n次连乘记为a ，称为a的n次幂（或称乘方）， n 即 ． n a aa a 我们还将a的逆元a1的n次幂记为an ，即 n n 1 1 1 a a a a 1  1 群的逆元（a ） =a 元素的阶  元素的阶 设G为群，a ∈G，如果存在整数t， t 使得a =1，则这样的最小正整数t定义为a的阶， 记为o(a)。如果这样的t不存在，则a的阶