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第八章 傅里叶变换 第一节 傅里叶级数 教学内容：傅里叶级数. 教学要求：1、正确理解傅里叶级数的复指数形式 2、了解基频、振幅、相位、离散频谱、离散振幅和离散相位谱 教学过程： 一、 傅里叶级数的指数形式 1804年，傅里叶研究热传导时提出有限区间上任意函数可以表示为正弦和余弦的和，1829年狄利克雷证明了如下的定理，为傅里叶级数建立了理论基础： 定理8.1 设是以为周期的实函数，且在上满足狄氏条件，即在一个周期上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点 则在连续点处，有 其中 在间断点处，式右端级数收敛于 . 根据工程上的习惯，则 ，于是,上面的傅里叶级数可以表示为： 令，则 其中. 称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 如果令 则，这说明如果代表信号，那么一个周期为的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率分别为基频的倍数，换句话说，信号并不含有各种频率的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中反映了频率为的谐波在中所占的份额，称为振幅，反映了频率为的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位.作为复数，可以完全刻画信号的频率特性，称为的离散频谱，称为离散振幅谱，称为离散相位谱. 例8.1 求以为周期的函数 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式. 解 令，当时， ， 当时， 所以的傅里叶级数的复指数形式为： . 振幅谱为 相位谱为 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换 教学内容：傅氏积分与傅氏变换 教学要求：1、理解函数的傅里叶积分公式 2、正确理解傅里叶变换的概念 3、掌握求函数的傅里叶变换 一、 傅里叶积分 任何一个非周期函数, 都可看成是由某个周期函数当时转化而来的，即 由是周期函数，可以知道， ， 所以可以得到 令， ，，则 因此 按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成： 称为函数的傅氏积分公式 定理8.2 若在(-∞, +∞)上满足条件: (1) 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积. 则 上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角形式，根据欧拉公式有 因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数， 所以 进而可以得到 二、傅里叶变换 令，，； 则有 ＝ ． 定义了一个变换对，也称为的像函数；为的原像函数 还可以将 和 用箭头连接: 例8.2 求函数的傅氏变换及其积分表达式， 其中，这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到 解 根据定义, 有 这就是函数的积分表达式． 因此 此表达式可以用来计算一些广义积分． 例8.3 求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式. 解 根据定义, 有 这样就得到了矩形脉冲函数的傅里叶积分变换和傅里叶积分表达式. 进一步可以得到 ， 因此可知当时，， 振幅谱为， 相位谱为 例8.4 已知的频谱为，其中，求. 解 第三节 傅氏变换的性质 教学内容：傅里叶变换的基本性质、卷积定理、综合举例 教学要求：1、了解卷积定理，卷积 2、掌握傅里叶变换的基本性质 3、掌握傅里叶变换的性质的应用 教学过程： 一、傅里叶变换的基本性质 1、线性性质 证明 设，，为实数，则 ； 2、位移性质 ，为实数，则 ； 证明 做变量代换 . 3、相似性质 ，为非零实数，则 证明 令，则当时， 当时， 总之可以得到 4、微分性质 若，则； . 证明 可以得到因而 根据数学归纳法可以得到 同理可以证明（可以用来求的傅里叶积分变换） 5、积分性质 设，若，则 证明 由于，根据微分性质，可以得到 ，因此可以得到 . 6、帕塞瓦尔等式 设，则 证明 由于 ， 所以 . 7、对称性 证明 因为，所以 ， 因此 . 例8.10 已知（为实常数），求. 解 （其中利用了位移性质） 例8.11 已知抽样信号的频谱为 求信号的频谱. 解 例8.12 求积分的值. 解因为的傅里叶积分变换为 令，则，考虑到被积函数是偶函数，所以. 二、卷积定理 1、卷积 定义，设与在实数集上定义，若反常积分对任何实数都收敛，它们定义了一个函数，称为与卷积，即 . 性质：(1)， (2) (3) 2、卷积定理 设，则有 例8.13 求下列函数的卷积 其中，. 解 由定义 当时， 当时， 所以 例8.14 求下列函数的卷积 . 解 由 当时， 当时