第二章微积分学基础.PDFVIP

第二章 微积分方法 微积分研究的主要对象是函数，研究函数的主要工具是极限。导数和定积分概念是建 立在极限概念之上的。利用数学软件 Mathematica ，可以使复杂的微积分运算成为比较容易 的操作。本章介绍微积分的基本运算在计算机上如何实现的方法，包括对函数求极限、求 导数、求全微分、求不定积分、求定积分、求重积分的 Mathematic 命令，以及将函数展开 为幂级数和傅里叶级数的方法。对常微分方程问题的计算机求解也作了适当介绍。 §2.1 函数的微积分运算 一、极限的运算 我们把数列 及函数 n概括为“变量x y ”，把x , x →∞, →∞ → 概括为“某 f (n ) f (x ) 0 个变化过程”。则对于任意给定的正数ε，若在变量y 的变化过程中，总有那么一个时刻， 在那个时刻以后 y− A ε 恒成立，则称变量y 在此变化过程中以A 为极限。记作 ylim A 计算极限的方法很多，如运用重要极限、等价无穷小替换、洛必达法则等等。在计算 机上计算极限有两个要素，一个是被求极限的函数表达式；一个是自变量的变化过程。自 变量的变化过程有下面几类： →x ∞ （1） ，在Mathematica 中表示为“x －Infinity ”。如果→x ∞ + ，则表示为“x →x ∞ − －Infinity ，Direction －1 ”；如果 ，则表示为“x －Infinity ，Direction － －1”。 （2 ） ，在计算机上表示为“ x x x → 0 x －x0 ”。如果 从大于x 0 的方向趋于x 0 ，则表 为“ x x －x0 ，Direction －1 ”；若 从小于x 0 的方向趋于x 0 ，则表为“x －x0 ，Direction － －1”。 在数学软件 Mathematica 中，计算极限采用下面的命令： 命令 功能 Limit[ 函数表达式f (x) ，x －x0] lim ( ) f x 计算 x x → 0 Limit[ 函数表达式f (x) ，x －x0，Direction －1] 计算单侧极限lim ( ) f x + x x → 0 Limit[ 函数表达式f (x) ，x －x0，Direction － －1] 计算单侧极限lim ( ) f x − x x → 0 例 2.1 计算下列极限，并在计算机上验证结果： 1 ln sin 3 x （1） （2 ） lim