第三十二单元三元一次联立方程组.PDFVIP

林信安老師編寫 第三十二單元 三元一次聯立方程組 解決許多實際問題時，通常我們假設未知數，根據問題的條件限制，可以形成型如 (A)或(B)的一次聯立方程式： a x + b y + c z = d ⎧ 1 1 1 1 a x + b y = c ⎧ 1 1 1 ⎪ (A) ⎨ (B) ⎨a x + b y + c z = d 2 2 2 2 a x + b y = c ⎩ 2 2 2 ⎪ a x + b y + c z = d ⎩ 3 3 3 3 我們用幾何的觀點來看(A)(B)的解： 坐標平面上，二元一次方程式的圖形是一條直線，討論型如(A)的解，就相當於討論 兩直線在平面上的相交情形。 空間坐標中，三元一次方程式的圖形是一個平面，同樣的，討論型如(B)的解，就相當 於討論三個平面在空間中的相交情形。 透過消去法或二階行列式來得到二元一次方程組的解(克拉瑪公式) ，並且判別兩 直線的關係，本單元會有類似的想法。 (1)用消去法來解三元一次方程組。 (2)用三階行列式來表示三元一次方程組的解(克拉瑪公式) 。 (3)用平面的法向量或三階行列式來判別三平面的關係。 (甲)消去法 透過假設未知數，解決許多實際的問題會形成解幾個三元一次的方程式的共同解，以 下面的例子來說： 某群顧客到早餐店買了4 個漢堡，3 個貝果，3 杯牛奶，共計350 元；第二群顧客買4 個漢堡，2 個貝果，5 杯牛奶，共計360 元；第三群顧客買8 個漢堡，8 個貝果，10 杯牛奶，共計840 元。問漢堡、貝果與牛奶的單價各為多少元？ 假設每個漢堡x 元，每個貝果y 元，每杯牛奶z 元， 根據問題的內容，可以列出三元一次聯立方程式 ⎧4x + 3y + 3z = 350 ⎪ (*) ：⎨4x + 2y + 5z = 360 ⎪ 8x + 8y + 10z = 840 ⎩ 由幾個三元一次方程式所形成的一次聯立方程式，我們統稱為三元一次方程組 。 解三元一次方程組的方法，使用加減消去法是一個很自然的想法，先消去一個未知 數，形成二元一次方程組，再利用二元一次方程組的解法，將三元一次方程組的解依 序求出來。 我們以解方程組(*)為例，來說明如何用加減消去法解三元一次方程組： ~32− 1~ 林信安老師編寫 ⎧4x + 3y + 3z = 350 ⎪ [例題1] 試求三元一次方程式組：⎨4x + 2y + 5z = 360 的解。 ⎪ 8x + 8y + 10z = 840 ⎩ [