矩阵相似与特征多项式相同的等价条件Ξ.PDFVIP

第 22 卷第 2 期 数学理论与应用 　　V o l. 22 N o. 2 　　　　　　 2002 年 6 月 　　　　　　 　　June 2002 M A TH EM A T ICAL TH EORY AND A PPL ICA T ION S 矩阵相似与特征多项式相同的等价条件 何维明　赵人可 (长沙交通学院信息与计算科学系, 长沙, 410076) 摘　要　本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件及其相关结果, 并指出湖南省某次线性代数自 考题中一道命题的错误. 关键词　相似矩阵　对角阵　特征多项式 THE EQU IVAL ENT COND ITIONS FOR M ATR IX SIM ILAR ITY AND THE IR CHARACTER ISTIC POLY NOM IAL S EQUAL ITY H e W eim ing　Zhao R enke (D eartm ent of Info rm atian and Camputing Science, Changsha comm unications Institute, Changsha, 410076) Abstract　 In th is paper w e discuss the equivaient conditions fo r m atrix sim ilarity and their characteristic . po lynom ials equality and co rresponding results A nd w e po int out m istake of a p ropo sition of one linear . algebra self taugh t exam ination in H unan Keywords　sim ilar m atrices　diagonal m atrix 　characteristic po lynom ial 众所周知, 两矩阵相似, 则它们的特征多项式相同, 反之则不然, 即两矩阵的特征多项式相 同, 两矩阵不一定相似. 然而, 当满足一定条件时, 矩阵相似与特征多项式相同是互为等价的. 本文讨论了矩阵相似与特征多项式相同的等价条件, 并指出湖南省某次线性代数自考试题中 一道命题的错误. 定理 1　 若n 阶方阵A 与B 都可对化, 则A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征多项 式相同. 证明 　条件的必要性可参见任一种线性代数教材, 只证充分性. 因A ,B 都可对角化且它 们的特征多项式相同, 因而它们有完全相同的特征值, 故A 与B 可相似同一对角阵, 由矩阵相 似的传递性知,A 与B 相似. 定理 2　 若 n 阶方阵A 可对角化, 则它的 n 个特征值均为 的充分必要条件是 0 A = E 0 证明 　充分性显然, 下证必要性. 郭忠教授推荐 　收稿日期: 2001