直角坐标系情形.ppt

第八章 第一节 2. 非均匀薄板的质量 3、二重积分的定义 4、二重积分的基本性质 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 设 例6. 计算 例7. 求球体 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 试计算椭球体 例9. 计算由 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 则 (2) 一般换元公式 且 则 在变换 下 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 8.1.2 二重积分的计算 8.1.1 二重积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1. 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中薄板的质量: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.特别, 由于 则 5. 若在D上 7. 设 D 的面积为? , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、在极坐标系中计算二重积分 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别, 对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试