柯西、琴生与幂平均不等式-建中数学科.PDFVIP

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2017-12-13 发布于天津
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柯西、琴生與幂平均不等式徐健策 Cauchy inequality (柯西不等式) ：設 a 、a 、… 、a 與 b 、b 、… 、b 為兩組實數，則有不等式 1 2 n 1 2 n n n n ( a b )2 ≤( a 2 ) ( b 2 ) ∑ ∑ ∑ i i i i i 1 i 1 i 1 a a a 等號成立在 1 2 L n 。 b b b 1 2 n 證明： (1) 利用二次函數恆正 2 2 2 令 f (x) = (a x−b ) + (a x−b ) + … + (a x−b ) ≥ 0 1 1 2 2 n n n n n ∴ D = 4 ( a b )2 −4 ( a 2 ) ( b 2 ) ≤0 即得。 ∑ ∑ ∑ i i i i i 1 i 1 i 1 1 2 2 (2) 利用不等式 ab ≤ (a +b ) 2 1 1 n 2 2 n 2 2 a ai b bi n 2 n 2 令 A = ( a ) ，B = ( b ) ；且，，則 (a ) 1 ， (b ) 1 ∑ i ∑ i i i ∑ i ∑ i i 1 i 1 A A i 1 i 1 1 2 2 1 2 2 考慮 a b ≤ (a +b ) ， … ，a b ≤ (a +b ) 相加即得。 1 1