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数学解题常见错误分析 ----逻辑性错误 淮安市吴承恩中学 高大佩 【摘要】：数学解题的错误研究一直是许多人非常关注的领域，目前对数学解题的错误性研究涉及到了心理性错误、知识性错误等诸多方面。本文主要从逻辑性错误入手，通过举例将常见的错误加以归类、分析和总结，以期能对数学解题教学起到一定的促进作用。 【关键词】逻辑错误；教学策略；虚假论据；偷换概念；分类不当 数学学习中的各种错误，全都可以归集到一个“错”字上。但是如果不对各种错误作具体的统计和分析，那么对诸如错误率的高低，错误的严重程度等就无法了解，因此对具体的每种错误也就难于深刻地认识。 对于一个学生来说，错误如果未能及时得到纠正便会积压起来，甚至形成错误的“习惯”。以致造成不止一两次的失误，更可怕的是各种错误轮番起作用，其结果将妨碍学生继续学习，使他们寸步难行。对此，我们教育工作者不能不给予高度重视，不能不去分析，去研究这些问题，去寻求解决的方法。事实上，对数学习题进行错误分析研究具有非常重要的意义： 首先：它是教师检查教学方案的执行情况的方法，同时是及时地调整教学方案的依据。在数学教学中，教师为控制其进度使其不偏离教学目标，就应该从数学解题的错误分析中获取反馈信息。据此正确地确定教学重点、难点、使教学更有针对性。 其次：它是发展学生的自我纠正能力的前提。自我纠正能力是与学生思维的正确性、严密性、完整性和批判性密切相关的。学生能够从数学习题的错误中意识到自己的思维过程中的缺陷，自觉地进行控制，并根据解题的需要，灵活运用各种方法和技能进行思维操作,这是提高学生思维能力的一个重要方面。 在数学解题中，学生的错误不仅形式多种多样，而且原因也异常复杂，为了有效地利用这些错误，从中吸取教训，以便达到纠正错误的目的，必须对各种错误进行分析和归类。本文将从逻辑性错误的入手，对常见的错误加以分析、归类和探讨。 1 常见逻辑错误类型 逻辑性错误是指学生在解题中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生的错误。逻辑性错误本质上也是知识性错误，但是就其导致错误的知识盲点主要不在于数学而在于逻辑。常见的逻辑性错误主要表现有以下几个方面。 1.1.虚假论据而导致错误 真实的论据是论证的首要要求，以虚假的命题作为推论的依据，进而违反了逻辑思维的充足理由律，及在论证过程中一个判断被确定为真，总是有充足理由的。其公式是：A真，因为B真，并且B能推出A。 例1.已知是无理数，求证是无理数。 错解：由已知是无理数，因为无理数之和是无理数，所以是无理数 分析：本题的求解中用到的“无理数之和是无理数”，是一个虚假的论据，我们很容易举出反例。如都是无理数，但它们的和=0.显然“0”不是无理数。 小结：这一类错要求我们在解题中，对每一步的推导论据，必须要求是真实可靠的。即：A真，因为B真，并且B能推出A。千万不能根据自己的主观臆断，依据虚假的论据做出如上题中自以为正确的解答，从而出错，造成不必要的失误。 1.2.偷换概念而导致错误 就概念来说，任何一个概念都有其确定的内涵和外延，所以，任何一个概念都只与其自身同一而与其他概念相区别。因此，一个概念如果反映什么对象，它就反映什么对象。否则，就不能保持概念在同一思维过程中的同一性，这样的思维就会是不确定的，不正确的。违反逻辑思维的同一律就会造成思维上的混乱。 例2.已知m为有理数，问k为何值时方程的根是有理数？ 错解：要使方程的根是有理数，它的判别式 △= = 必须是完全平方式，也就是必须使关于m的方程：有两个相等的实数根，于是： △= 分析：在上述的解法中把“有理数的平方”说成“完全平方”，偷换了概念，违反了逻辑思维的同一律。实际上，我们只要有△=从而 小结：这一类错误要求我们在学习数学概念的时候必须要彻底的搞清楚，每个概念的内涵和外延。特别是要搞清楚相似概念间的区别，因为一个概念如果反映什么对象，它就反映什么对象。即要求我们必须明确思维过程的同一律，避免造成思维上的混乱，从而导致如同例2的错误。 1.3.循环论证而导致错误 关于论据，必须满足下列两条要求： 论据必须真实。 论据的真实性不能依赖论题的真实性。 如果论据的真实性依赖论题的真实性而引起的逻辑错误即叫做循环论证。 在证明中，论题要由论据推出，如果论据又要由论题推出，这实际上就是论题由论题本身推出，所以一个循环论证并没有真正证明要证明的论题。 1.4.分类不当而导致错误 分类是揭示概念外延的逻辑方法。求解数学题时经常需要进行分类讨论，分类讨论要依据形式逻辑中关于概念划分的规定来进行，否则就会出现以下几类常见的错误： 1.4.1 划分的子项的外延总和不等于母项的外延而导致了错误 1.