怪人的不等式讲义!!.PDFVIP

怪人的不等式講義!! 一. 算幾不等式 平方平均≧算數平均≧幾何平均≧ 調和平均 基本型:∀ x, y 0 , √ 2 + 2 ≥ + ≥ √ ≥ 1 2 1 2 2 + 2 2 2 推廣型:∀ x , , … 0, √1 +2 +⋯ ≥ 1+2+⋯+ 1 2 ≥ √ … ≥ 1 1 1 1 2 + +⋯+ 1 2 ‧算幾不等式是個常用來解決不等式問題的實用而基本的工具!! →應該不會太難吧的習題1: 若a 、b 、c 0 ，請以算幾不等式證明以下不等式成立 (1) a2 + b2 + 2 ≥ 2( + + ) (2) a3 + b3 + c3 ≥ 2 + 2 + 2 ≥ 3abc (3) a4 + 4 + 4 ≥ 2 + 2 + 2 (4) 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 (5) a22 + 22 + 22 ≥ 2 + 2 + 2 (6) a33 + 33 + 33 ≥ 32 + 32 + 23 5 5 5 5 5 5 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 (7) a b+a c+b a+b c+c a+c b ≧a b c+a bc +b a c+b ac +c a b+c ab →可能有稍微難一點的習題2: a b c 3 (1) a 、b 、c 0, 求證 + + ≧ b+c a+c a+b 2 令a 、b 、c0 且abc=1 ，試以算幾不等式證明下列各式 (1) a22 + 22 + 22 ≥ + + 1 1 1 (2) + + ≧ 1 1+2a 1+2b 1+2c 1 二. 柯西不等式 2 2 2 2 ( )2 基本型: ∀ a, b, c, d 0, (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd 推廣型: ∀ a , a , … a , b , b , …b 0 1 2 n 1 2 n (a2 + a2 + ⋯ + a2 )(b2 + b2 + ⋯ + b2) ≥ (a b + a b + ⋯ + a b )2 1 2 n 1 2 n 1 1