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吉林大学硕士学位论文 广义特征值问题中的预处理方法 Preconditioning Method for Generalized Eigenvalue Problems 作者姓名：陆 昊 辉 专 业：计算数学 导师姓名 吴 柏 生 及职称： 教 授 第一章 引 言 许多工程问题比如结构力学中的振动分析以及控制系统稳定性分析等问题，最终都转化成下面的广义特征值问题 子空间迭代法是求解大型对称矩阵特征值问题的有效方法之一，但是当特征值的分布很密集的时候，子空间迭代的收敛速度很慢。 Ritz 向量法构造了一组逼近特征向量空间的Ritz 向量，它生成的Ritz 向量都与前几步生成的Ritz 向量标准正交归化，因而将原特征值问题投影在这组Ritz 向量上，就变成了缩减的标准的特征值问题。 第二章 子空间迭代法和迭代Ritz 向量法的介绍§2.1 问题假设和记号约定 质量矩阵和刚度矩阵都是对称正定矩阵，向量矩阵的 -正交归一化，即是由 求满足下面关系的向量矩阵 一种方法用修正的Gram-Schmidt正交化方法将 按列单位正交得 ，并将 做Cholesky分解 ，然后令 。 另一种方法令 ，然后做 的Cholesky分解 ，则取 。 §2.2 子空间迭代法 子空间迭代法是乘幂法的推广,它能同时求出对称矩阵的几个极端特征值和特征向量。即是假设有 个初始向量同时进行迭代，来求得对称矩阵的前 个按模最大的（或最小的）特征值和特征向量。通常 的大小可以这样选取 。 算法1 子空间迭代法 I．初始化 1.确定子空间的维数 ； 2.选取初始向量矩阵 ； 3.做刚度矩阵的Cholesky 分解。 II．迭代 1.将 进行 -正交归一化（含对已收敛的特征向量），归一化后的向量矩阵仍记为 ； 2.求解试向量矩阵 ； 3.计算投影 , ； 4.求解 阶广义特征值问题 ； 5.形成新的近似特征向量 ； 6.判断特征值的收敛性，移出已收敛的特征值和特征向量，并在 中加入随机向量或减缩子空间的大小，如果达到要求的 个特征对，停止，否则回到1。 算法1的说明： 1.判断特征对的收敛一般用特征值的相对误差来衡量，即用 ，我们也可以使用残量误差或模态误差( )来判断。 2.实际计算中往往会出现迭代一定次数后，继续迭代很难获得满意的特征值，我们可以预先设定迭代的最大次数，如果达到最大迭代数，就重新开始。 §2.3 迭代Ritz 向量法 原始的Ritz 向量法是按一定规律生成一组标准正交的Ritz 向量，然后将特征方程转换到这组Ritz向量上，只求解一次缩减的标准特征值问题，然后通过特征变换，得到原特征问题的部分特征对，因为只求解一次，所以求得的特征对的精确程度就与Ritz 向量有关。 算法2 迭代Ritz 向量法 I.初始化 1.确定Ritz 向量法块宽 与Ritz 向量的生成步数 ； 2.选取初始向量矩阵 ； 3.分解刚度矩阵 ； II.迭代 1.对 解 ，然后将 对已收敛的特征向量以及 , ,…, 作 -正交归一化，并形成 ； 2.计算 在=[ , ,…, ]上的投影， ； 3.求解 阶标准特征值问题 ； 4.形成新的近似特征向量 ； 5.判断特征值和特征向量的收敛性，并移出已收敛的特征值和特征向量； 6.如果得到了要求的 个特征值，退出；否则将未收敛的前 个最小特征值对应的特征向量作为 进行下一次迭代。 算法2的说明： 关于Ritz 向量法块宽 与Ritz向量的生成步数 的确定，并没有严格的准则，通常我们选取 或更大一点。 的选取也可以是任意的，其中 越大，收敛越快。实际计算中，我们选取的 一般满足 。 当要求的特征对比较多的时候，缩减后的阶标准特征值问题很可能仍然是一个大型特征值问题，运用压缩技术，我们可以动态选取 和 ，具体方法如下。 1.以 和