四元数(Quaternions)与向量曹文峰一、数系的发展数系从自然数N到.docVIP

四元數(Quaternions)與向量 曹文峰 一、數系的發展 數系從自然數到整數，從整數到有理數這一路發展下來，非常順利。發展後的數系可輕易地由前一數系表現出來；如 ∣p，qZ，q≠0﹜ 從有理數系到實數系，就有點小波折了，而需費點心去小心處理了。第一種觀點是引進極限的概念。第二種觀點是以小數來表示實數。有理數都可表成有限小數或循環小數；另外的那些不循環的無窮小數則是無理數無理數依其代數特性而區分為代數數與超越數；所謂的代數數，即是滿足整係數多項式方程式的解；如滿足x2-2=0，滿足x4-5=0，與都是代數數。另一方面，圓週率π 與自然對數的基底 是超越數。基本上要證明一數值是超越數，並不是一件容易的事。 這些無理數是從Q擴充到R所添加的新數。複數從R到複數系C，這主要關鍵是加入虛數單位，是方程式x2+1=0的解；R﹜ 它的四則運算定義如下： (a+bi)±(c+di)=(a±c)＋(±d)i (a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 另外複數也可以看成是佈於R的二維向量，將a＋bi以序對[a，b]表示，這時兩序對的乘法是 a，b×[c，d=[ac-bd，ad+bc複數C在加與乘的運算下構成一體，這數體具有代數封閉性，即底下定理所述的性質。代數基本定理：任一複數的多項式P (x)，至少都有一複數α使α)=0 並由此推廣知任一實係數多項式P (x)，P (x)=n，則此多項式必有n個根。 複數系中不再像實數系，沒有大小的次序，即無法比較兩複數的大小。共軛複數與範數 (norm) 的概念非常重要，a＋bi的共軛複數是a-bi，而範數定義為 ∣a＋b∣== 對任意複數α ,β，很容易可得證：∣α．β∣∣α∣．∣β∣α=a＋bi，β=c＋di，a、b、c、dR 依範數的定義即可得 ∣α．β∣==∣α∣．∣β∣ 三、四元數的發明 從1535年卡爾單諾發現複數的平方根，到1831年高斯給出複數的幾何表示，前後歷經三百年，複數終於被確立起來了。複數不僅在形式上是實數的拓展，把實數包括在自己的範圍之下，而且保留實數具有的全部運算性質。然而複數能不能再拓展？ 1828年英國數學家漢彌爾頓（William Rowan Hamilton）開始思考這樣的一個問題是否存在像實數a拓展到複數(a，b)那樣的一種拓展使複數(a，b)再拓展一種新數，例如(a，b，c)，它像a＋bi那樣可表示為a＋bi＋cj。要使得此數實地是複數的擴展，它既能包含複數，又能保留複數運算的性質如交換律、結合律、分配律等。 漢彌爾頓首先假定 ， 無論ij=1或-1都不能使得這個新數滿足範數的法則。 其實考慮 有零因子產生，這是數系發展最不願意見到的結果。 (零因子：a、b≠0，a、b ring such that ab = 0) 幾經失敗後，16年後，1834年10月16日，漢彌爾頓終於創造出四元數。既然的問題無法突破，何不放棄交換性的問題，改令為一個新的符號，一個四元數是型如 其中， 兩個四元數的加(減)法為 ， 乘法為(四元數不滿足乘法交換律) 加法單位元素為 乘法單位元素為 共軛數 範數(norm) 乘法反元數為 因為 故每個四元數除0外皆有反元素。 此外『n次方程式恰有n個根』在四元體上是不成立的。 例如： 有無限多組解。 今日代數定義環(Ring)為：(1)加法為交換群(2)乘法結合律成立(3)乘對加的分配性成立。但環中不一定有交換性或是單位元素。在環中，每個非零元素皆有乘法反元素稱為可除環(division ring)，滿足交換性的可除環稱為體(field)，不交換性的可除環稱為斜體(skew field)。一個可交換環有乘法單位元素且無零因子稱為整域(integral Domains)。四元數並不滿足可交換性不是一個體，而每個非零元素皆有乘法反元素且無零因子，故是一個斜體，或稱為四元數體。 四、四元數與向量 我們若仔細觀察四元數的成積定義，不難發現向量的內積、外積隱含其中。若 我們稱 為之純量部分，為之向量部分，當兩個四元數 為純量部分，為向量部分，則 仍是一個純量，與是向量部分，但是什麼？ 由四元數的乘積定義知 恰是的內積，而恰是的外積，因此 清楚地描述四元數的乘法。 因為乘法交換性的缺乏，使得四元數的運算顯得繁而難，以致於向量的內積、外積引進之後四元數就被人淡忘了，然而，四元數的可除性卻是內積、外積所不及的。 例題：設，使得，。， 且 由(1)(2)知 ， 解1：(四元數做法) 設 由四元數的乘法知 故 故所求 五、發明四元數的意義 四元數的創立世代數上的劃時代事件。大家都知道從自然數到複數，他們都或是由於民生的需要，或是數學運算的需要而提出來的。但四元數是為了擴展複數而設想出來的