从调和级数到平方倒数和的意外.docVIP

補充教材 從調和級數到平方倒數和的意外 范志軒 編輯 為什麼說是意外？這得要先從底下這個無窮級數談起： 這級數在數學上稱為調和級數，非常單純的只是取正整數的倒數相加，直覺上，當級數的項數加到無窮多項時，因為加上去的數字趨近於0，其總和應該會非常靠近一個定值(因為加上去的數字無限接近0，有加等於沒有加)，但是這樣的直覺卻是錯誤的，其總和不但不是定值，卻反而是無限大，最早發現這個事實的人是尼科爾．奧里斯姆(Nicole Oresme，1323—1382)，他並給出了證明，可惜知道的人不多，其後才由伯努利兄弟(雅各．伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705) 和約翰．伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748))提出另一種證法並延伸出平方倒數和的問題，伯努利兄弟是萊布尼茲的學生，他們的證明方法是延續萊布尼茲對特定無窮級數的結論，底下來看看他們的手法： 首先考慮無窮級數，其中各項分母的差為等差 這是惠更斯考驗萊布尼茲的題目之一(惠更斯是萊布尼茲的老師)，關於此式的解法，萊布尼茲提出以下看法： 令兩邊同乘得： 右側拆開成兩項相減：兩兩相消得： 故即 雖然在兩兩相消到無窮多項時，所謂的最後一項到底會怎麼樣，萊布尼茲並沒有交代清楚，但毫無疑問地，證明的手法創意十足，在得到上述結果後，伯努利兄弟接著發揮： 令考慮底下這個詭異的方陣： 在同一個方陣中，每一列相加後的總和為而每一行相加後的總和為，這實在是一件非常怪異的事情，竟然等於，約翰．伯努利對此的解釋是：只有在無限大的情況之下，才有可能發生等於這種事情，因此，他證明了無限大 (這種解釋聽起來比上面的結果更加怪異)。無論如何，事情總是告一個段落，儘管證明過程並不完美，但他們在直觀上的想像與堆砌數字的努力中，得出了令人意外卻是正確的結果。底下列出另一種證明方式，稱之為比較審斂法，近似於最早由尼科爾．奧里斯姆所提出的證明方式： 定理1：發散 證明：令，是有限項級數而，，是的部分級數則所以，故數列發散，即調和級數發散。 Q.E.D. 截至目前為止，關於調和級數發散的證明方式，大約有二十種左右，有興趣研究的同學不仿嘗試自己找找看或證證看，接下來說明平方倒數和。 伯努利兄弟自從發現了調和級數發散此一結果後，一發不可收拾，緊接著，他們開始考慮如果將每一項安裝上平方後會怎麼樣，如？在收斂速度加快的情況下，無窮級數和還會是發散嗎？若是不會發散，那會不會趨近於哪一個定值呢？而這一次，他們踢到了鐵板！ 伯努利首先注意到 其中，，，，…，，…其中即(注意到嗎？萊布尼茲再次出現) 因此伯努利斷定不會發散，因為其和小於2，但緊接著大問題就來了，若是不會發散，那麼會不會收斂到哪一個定值？這個問題，難倒了包括伯努利在內的許多大數學家，最後由他們的學生尤拉找出了答案，這個答案，震動了整個數學界。 底下是尤拉發現與證明的方式： 定理2： (竟然會有跑出來，難怪一堆人找不到) 證明：令為無窮多項式，明顯地當時， ( 這步驟須具有初等微積分的泰勒展開式概念 )，其根為 ( 注意：沒有0 )故可將展開為兩兩合併得 對照項係數得 上述論證並不嚴謹，問題出在於無窮多項，以有限項的根與係數關係去推論無窮項的情形，是非常危險的事情，直覺並不一定正確，這需要以極限的法則加以驗證，尤拉本人亦十分清楚這一點，以致於他畢生都在尋求更好的證明方式，但可惜未能完成，關於平方倒數和至今已有多種證明方式，大多數皆利用到高等數學的技巧，底下列出高中生也可以看得懂的證明方式： 定理2： 證明：設，，n為正整數，由隸美弗定理：由二項式定理展開：將複數的實部與虛部分開表示：觀察頭尾，由虛部相等：考慮， (均為銳角)，則是的倍數，即，故將，代入上式得：， 因為是區間之間不同的數，因此n個的值皆不同據此，令此n個為下列多項式的n個根 由韋達定理(根與係數關係)：再由三角函數平方公式：代入，得：因為當時， ， 將代入上數不等式加總得：此時將，代入，得：同乘得在上式中，兩邊取極限：故由夾擠定理： Q.E.D. 由惠更斯到萊布尼茲經過伯努利兄弟再到尤拉，無窮正整數倒數和的演變曲折離奇，接下來還有甚麼發展？有興趣的同學可以參看初等微積分中p級數(p-Series)一節。 從調和級數到平方倒數和的意外 第1頁 ( 共5頁