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中国科学院学2014秋季学期微积分II-A01习题1+2-LSEC.PDF
中国科学院⼤学2014 秋季学期微积分II-A01 习题1+2
课程教师：袁亚湘 助教：刘歆
2015 年3 ⽉ 14 ⽇，8:00-9:40
作业 1. 证明 ∑ 是 中的范数。
作业2. 对任何 和 , 证明 是 中的开集。
作业3. 对任意 , 证明 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩.
作业4. 对任意 , 证明 .
作业5. 证明De Morgen 对偶原理.
作业6. 证明:
a) 任⼀集合 的闭包 是 中的闭集.
b) 任⼀集合 的边界点的集合 是 中的闭集.
c) 如果 是 中的开集, 是 中的闭集, 则 是 中的开集.
作业7. 证明 的闭包是包含 的最小闭集.
作业8. 设 为 中非空的有界开集. 求证: 必可表示为⾄多可数个互相不相交的开区间.
作业9. 在 中, { }. 求int , ext 和bd .
作业 10. 证明:
(a) 任意多个紧集的交集是紧集;
(b) 优先多个紧集的并集是紧集.
作业 11. 设 , 量
inf
称为集合 与 之间的距离. 举例说明, 在 中存在没有公共点的闭集 使得 .
作业 12. 设 是 中的非空闭集, 满⾜ ( ). 问: 是否⼀定存在
对⼀切 都成立.
∑
作业 13. 设 是 中的点列, 并且级数 收敛. 求证: 收敛.
1
2
当堂小测验1
测验 1. 假设 ( ), 并且 lim , lim , 证明:
lim ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
测验 2.
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