lE-A的初等因子.ppt

* 初等因子组: * 定义：设 A 为 n 阶方阵，若多项式 满足 则称 j (l) 为 A 的零化多项式。 3.6 矩阵的最小多项式 定理：( Hamilton-Cayley ) 设 A 为 n 阶方阵，则 A 的特征多项式 为 A 的零化多项式。 定义：设 A 为 n 阶方阵，则称 A 的次数最低的 零化多项式为 A 的最小多项式， 记作 * 最小多项式的性质：设 A 为 n 阶方阵，则 例 设 求矩阵 A 的Jordan标准形及最小多项式。 * 初等因子组: * * l 矩阵的秩 定义：l 矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数 显然，等价的 l 矩阵有相同的秩。 称为A(l)的秩。 事实上，l 矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否 的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。 例如，A 为 n 阶数字方阵，则 不恒为零，故 的秩为 n 。 行列式因子 定义：l 矩阵A(l)的所有 k 阶子式的最大公因式 定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶行列式因子。 事实上，初等变换不会改变 A(l)各阶子式的最大公因式 也就不会改变其各阶行列式因子。 称为A(l)的 k 阶行列式因子，记作 * 例：求A(l)的等价标准形的各阶行列式因子。 依行列式因子的定义： * 不变因子 定义：设 为l 矩阵 A(l)的k 阶行列式因子， 定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶不变因子。 称为A(l)的 k 阶不变因子。 * 定理：l 矩阵的等价标准形是唯一的。 注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的 各阶不变因子。 * 定义：设 A(l)的 各阶不变因子在复数域的标准分解式 初等因子 称指数 为A(l)的初等因子。 定理：等价的 l 矩阵有相同的初等因子。 * 例2 设 求矩阵 lE-A 的行列式因子, 不变因子, 和初等因子。 解： 3.4 矩阵相似的条件 定理：数字方阵 A 相似于 B 的充分必要条件是 lE－ A 等价于 lE－ B 定理: 方阵 A 相似于 B 的充分必要条件是 lE－ A与lE－ B有相同的: 1. 行列式因子组, 2. 不变因子组, 3. 初等因子组. 引理：设 2 阶l 矩阵 其中 则 与 等价。 则 与 的行列式因子 证明：设 且 的最大公因式是 * 定理 设 A(l)为分块对角阵 则每个子块 的初等因子都是 A(l) 的 初等因子，并且 A(l) 的每个初等因子必是某个子块 的初等因子。 * 例2 设 求矩阵 lE-A 的行列式因子, 不变因子, 和初等因子。 解： 行列式因子: 不变因子: 故 lE－A初等因子: 右下子块 * 求矩阵 lE-A 的行列式因子，不变因子和 初等因子。 例3 设 lE-A 的行列式因子： lE-A 的初等因子: lE-A 的不变因子： ( 简称: A 的初等因子 ) ( 简称: A 的不变因子 ) ( 简称: A 的行列式因子 ) 3.5 矩阵的若当标准形 Jordan 块: 形如 的 ni 阶矩阵称为 ni 阶Jordan 块。 的初等因子: 分块对角阵 称为 A 的Jordan标准形. J 的初等因子: 定理：设矩阵 A 的初等因子是： 则存在 Jordan标准形 使得 推论：n 阶矩阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A的初等因子都是 l 的一次多项式。 * 例 设 求矩阵 A 的 Jordan标准形。 * 初等因子组: * 例 设 求矩阵 A 的Jordan标准形。 同济大学数学系 2009-3-22 第3章 矩阵的标准形 武汉理工大学理学院 3.1 一元多项式 定义.设 n 是一个非负整数，表达式 * * 则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。 若其同次项的系数都相等，即 定义. * 多项式加法 为了方便起见，设 * 运算规律: * 数乘多项式 运算规律: * 多项式乘法 其中k 次项的系数是 * 运算规律: * 定理2.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式， 并且q(x)和 r(x)是唯一的， 带余除法 且 g(x) ≠0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得 若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式， 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。 * 例2.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个多项式 求满足等式