Cantor三分集构造方法探微.PDFVIP

第 2 1 卷第 4 期 大 　学 　数 　学 Vol . 2 1 , №. 4 2005 年 8 月 COLL E GE MA T H EMA TICS A u g . 2005 Canto r 三分集构造方法探微 伍火熊 (厦门大学 数学科学学院 ,厦门 36 1005) 　　[摘 　要] 以 Cantor 三分集的构造为基础 ,揭示了该构造方法的本质特征 ,给出了它的一般化叙述和若 干应用. [ 关键词] Cantor 三分集 ;完备集 ;稀疏集 ;构造法 [ 中图分类号] O 174 . 2 　　[文献标识码] C 　　[文章编号] (2005) Cantor 三分集是德国数学家 Cantor 在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集. 它具有若干 重要特征 ,常常是数学工作者构造反例的重要基础. 它的巧妙构思也为我们解决某些数学问题提供了方 法与思路. 本文旨在阐述其构造思想的本质特征 ,将其构造思想一般化 , 以便初学者更好地把握这一构 造方法并运用它来解题. 1 　Cantor 三分集的构造 设[ 0 , 1] R 1 . 将[ 0 , 1] 三等分, 并移去中央三分开区间 I 1 , 1 = ( 1/ 3 , 2/ 3) , 记其留存部分为 F1 , 即 F1 = [ 0 , 1/ 3] ∪[ 2/ 3 , 1] . 再将 F1 中的区间[ 0 , 1/ 3] 和[ 2/ 3 , 1] 各三等分, 并移去中央三分开区间 ( ) ( ) I2 , 1 = 1/ 9 , 2/ 9 及 I2 , 2 = 7/ 9 , 8/ 9 . 再记 F1 中的留存部分为 F2 , 即 1 2 1 2 7 8 F2 = 0 , ∪ , ∪ , ∪ , 1 . 9 9 3 3 9 9 一般地, 第 n 次移去中央三分区间 1 2 7 8 3n - 2 3n - 1 n - 1 I n, 1 = n , n , 　I n, 2 = n , n , 　…, 　I n, 2 = n , n . 3 3 3 3 3 3 ( ) 设所得剩余部分为 Fn , 再将 Fn 中每个 互不相交 区间三等分, 并移去中央三分区间, 记其留存部分为 F , 如此等等. 从而得到集列{ F } , 其中 n + 1 n Fn = Fn, 1 ∪Fn, 2 ∪…∪Fn, 2 n , 　n = 1 , 2 , …. ∞ 作点集 C = ∩Fn , 称 C 为 Cantor 三分集. n =