2弹性力学边界－区域积分方程.docVIP

无奇异积分的径向积分边界单元法 高效伟 东南大学工程力学系，江苏 南京 210096 Email: xwgao@seu.edu.cn 摘要 本文提出了一种无奇异积分的边界单元法。该方法用基于紧支径向基函数的形函数为权函数，用加权余量法建立伽辽金弱形式的边界－区域积分方程，并由径向积分法将区域积分转换成等效的边界积分，形成只需要边界离散的纯边界元算法。本方法兼有边界单元法和无网格法的主要特点，导出的系统方程的系数矩阵为带状稀疏矩阵，对线性问题、非线性问题以及变系数问题具有统一的表达形式，是一种很有发展潜力的方法。 关键词: 边界单元法，无网格法，径向积分法，奇异积分 1 引言 数值计算方法已经变成工程技术人员解决大型工程问题的重要工具，现最流行的数值方法是有限单元法[1],以其强大的解题能力和通用灵活性而普遍被采用。然而随着其应用范围的扩，固有的一些缺陷也日益突出在金属成形、、等中，基于拉格朗日法的有限元网格可能产生，严重地影响解的精度[2]，其主要特点是只需要将问题的边界离散成单元，因而准备数据简单、便于复杂边界问题的建模[3, 4]。此外，边界单元法在解决上述移动边界问题中[5]，计算中移动边界的位移与原边界节点的坐标相加就自然形成了新的边界单元信息[6]，不需要专门重构网格[7]和非线性[8]问题的积分方程，结果有区域积分出现在积分方程中。为了计算区域积分，传统的方法是将问题的区域离散成内部网格,用网格积分法来计算区域积分[9, 10]，这种做法消除了边界单元法只需将边界离散成单元的特点。正是这些弱点严重地影响了边界单元法的发展。 鉴于缺陷，近年来许多学者无网格法[11-13]。纯无网格法不需要借助于任何单元，只需要在计算域中布置一系列的离散点即可，因而具有很强的解题灵活性。此外，无网格法通常采用基于紧支基函数的形函数[12]，形成的系统方程的系数矩阵为带状稀疏矩阵，占用较小的内存空间。然而无网格法还发展的很不成熟，现提出的十几种无网格法中存在的缺点和不足表现在:1)缺少坚实的理论基础和严格的数学证明, 因此计算精度、守恒性等一直没有明确的答案;2)需要布置较多的内部点,布点方案不仅限制计算规模而且严重影响计算精度;3)由于没有边界单元（或内部网格）可以利用，对于具有复杂几何边界条件的移动边界问题，在迭代计算中重新产生以及自动判断内部、外部还是边界点时会有困难。 为了利用边界元和无网格法所具有的优点, 国际上许多学者Brebbia 等人提出的双重互易法（DRM）[1]和多重互易法（MRM）[]。这类方法的基本思想是利用微分算子的特解，将区域积分转换成边界积分。虽然DRM和MRM的应用范围很广泛，但对于一些复杂的基函数和微分算子，求特解是很困难的。此外，如果在同一积分方程中存在有不同核函数的区域积分，则很难求得统一的特解，以致该方法无法实施。基于这种缺陷，高效伟在2002年提出了径向积分法（RIM）[, 17]。该方法通过首先计算一个径向积分的途径，将一个区域积分转换成边界积分。众所周知，著名的高斯散度公式和格林公式只可将含微分算子的区域积分转换成边界积分，但RIM是一种建立在纯数学处理上的方法，不借助任何特解和微分算子，也不需要使用基本解则可将任何一个区域积分转换成边界积分。不仅能对二维和三维区域积分给出统一的转换公式，还可以显式地消除积分中存在的奇异性[16]。由于基于RIM的径向积分边界元算法能够不需要内部网格而有效地求解非线性和非均质问题，因此该方法提出后已得到了广泛的应用[18, 19]和好评[20, 21]。其中，Albuquerque等人[20]用算例对RIM与DRM进行了数值比较，证明了RIM比DRM更精确、更稳定；而Hematiyan[21]评论到，双重互易法(DRM）RIM)则是最有力的方法。这在一定程度上说明了径向积分法的发展潜力。 虽然径向积分边界单元法求解非线性和非均质问题时不需要内部网格，但仍然包含有奇异积分，而且所形成的系统方程组系数矩阵为非对称满阵，求解大型工程问题时需要很大的计算机内存和计算时间。因此，寻找一种更有效的数值方法很有必要。本文就是在这方面的一种尝试。首先采用无网格法中常用的紧支形函数为权函数，用加权余量法建立伽辽金弱形式的边界－区域积分方程，然后用径向积分法(RIM)将其中的区域积分转换成等效的边界积分，形成只需要边界离散的纯边界元算法。由于没有使用基本解，因而所建方程中没有积分奇异性；由于采用了基于紧支径向基为形函数，因而所导出的系统方程组系数矩阵为对称阵RIM将方程中的区域积分转换成边界积分，因而不需要背景网格。这些特点将使得本文所述方法成为一种很有发展潜力的数值方法。 的应力平衡方程为 (1) 式中，为应力张量，重复下标表示求和。使用权函数对上式建立加权余量公