第3章 线性系统的能控性和能观测性分析(2版).ppt

一定能观，再应用秩判据检查其 能控性，可知其能控，故 即为 G1(s)的一个最小实现。 (2) G2(s)为真有理函数矩阵，其状态空间实现中 的输入输出关联矩阵D为 ，相应的严真有理函数矩阵为 且将式(3-194)代入式(3-195)证得 证毕。 实现能控标准型变换的核心在于构造线性非奇异变换阵。可以证明,引入线性非奇异变换 ,将状态完全能控的单输入线性定常系统式(3-186)变换为能控标准型式(3-190)的变换矩阵 的逆矩阵可表达为 (3-198) 式中，行向量 为式(3-186)的能控性判别阵 的逆矩阵的最后一行，即 （3-199） 采用式(3-190)的单输入单输出系统 ,容易求出其传递函数,即 (3-200) 从式(3-200)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能控标准型 系统阵 的最后一行对应元素的负值，分子多项式的各项系数是 输出阵 的对应元素。另一方面,根据传递函数的分母、分子多项式的系数，也可直接写出如式(3-190)所示的能控标准型的实现 。 【例3-27】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数 解 变换前系统能控判别矩阵 因为 ,故系统是能控的，可化为能控标准型。 又因为系统的特征多项式为 故 , , 引入线性非奇异变换 ,其中变换阵 由式(3-189)得 则 也可根据式(3-198)先求变换阵 的逆矩阵 。由式(3-199)得 由式(3-198)得 的逆矩阵 为 则 变换后所得能控标准型为 其中 , 由能控标准型,据式(3-200)可直接写出系统的传递函数 3.10.2 单输出系统的能观测标准型 在第1章曾得出n阶严格有理真分式传递函数 (3-201) 的能观测标准型实现为 (3-202) 式(3-202)中,系统矩阵和输出矩阵对(A , C)具有标准结构(行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零; A为友矩阵的转置), 易证与其对应的能观测性判别矩阵 的行列式 ,故 ,即系统一定能观测。若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对(A ,C) 具有形如式(3-202)中的标准形式,则称其为能观测标准型,且该系统一定是状态完全能观测的。 一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对 (A ,C ) 不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能观测标准型。 设单输出线性定常系统 （3-203） 能观测,式中A,C分别为 矩阵,且系统的特征多项式为 (3-204) 则存在线性非奇异变换 （3-205） 变换矩阵 的逆矩阵 (3-206) 将式（3-203）变换为能观测标准型 (3-207) 其中 （3-208） （3-209） （3-210） 与能控的单输入系统能控标准型变换对应,应用对偶原理可证,引入线性非奇异变换 ,将状态完全能观测的单输出线性定常系统(3-203)变换为能观测标准型式(3-207)的变换矩阵 可表达为 (3-213) 式中，列向量 为式(3-203)的能观测性判别阵 的逆矩阵的最后一列，即 (3-214) 对采用式(3-207)所示能观测标准型的单输入单输出系统 ,可直接写出其传递函数为 (3-215) 从式(3-215)可以看出，传递函数分母多项式的各项系数是能观测标准型 系统矩阵 的最后一列对应元素的负值，分子多项式的各项系数是 输入阵 的对应元素。另一方面,根据传递函数的分母、分子多项式的系数，也可直接写出如式(3-207)所示的能观测标准型的实现 。 【例3-28】试将例3-27中的状态空间表达式变换为能观测标准型 解 系统能观测性判别矩阵 因为 ,故系统是能观