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第一讲形体表示-Read.doc
计算机图形学讲义
概述
计算机图形:由数据或几何模型,利用计算机产生,并可以进行修改的图形。
计算机图形学:是研究用计算机生成、处理和显示图形的一门学科。从基本的处理技术看有两类,一类是线条,如工程图、地图、曲线图表等;另一类是明暗图,与照片相似。本课程重点研究真实感图形显示
相关学科
几何造型:研究物体几何模型的计算机表示与构造(为了生成图形,首先要有原始数据或数学模型)。
计算几何:研究几何造型与图形处理的相关算法,达到方便、高效地对几何模型运算、存贮和管理。
图象处理:将客观世界中原来存在的物体影象处理成新的数字化图象。
模式识别:对所输入的图象进行分析和识别,找出其中蕴涵的内在联系或抽象模型。
本课程所要求的基础知识
空间解析几何
计算机图形学基础
数据结构
C++程序设计
参考文献
孙家广等,计算机图形学,清华大学出版社
唐荣锡等,计算机图形学教程,科学出版社
Computer Graphics
IEEE CG A
教学计划
1.图形表示
2.图形变换
3. 三维观察
4.隐藏线消除
5.隐藏面消除
6.真实感图形显示的基本概念
7.光照模型
8.光线跟踪算法
9.光线跟踪的加速算法
10.纹理映射和反走样
11.辐射度算法
12.计算机图形学的新发展
课程目标
掌握计算机产生图形的基本原理与理论
具有图形渲染软件开发能力
第一讲 图形表示
简单二维图形
点、向量及其运算
点、向量的表示:(x, y)
点的运算:
减法,单目减
与向量的加减法
数乘、除
向量的运算:
加、减、单目减
数乘、除
点乘、叉乘
单位化
点、向量的绘制
直线段
直线段的表示:两点式,点+向量,参数表示……
直线的运算:
求长度
判点在线上或点所在的侧
点到直线的距离(需要考虑容差)
求参数为t的点
两直线段的交
直线的绘制
折线集
折线集的表示(p0, p1, p2, …)本征表示法
折线集的运算
求长度
判点是否在线上
求参数为t的点
求两折线集的交点
求折线集的偏移线(模型)
带圆弧的折线集表示
折线集的绘制
多边形(三角形,四边形,N边形)
多边形的表示
多边形的运算
求面积
判点在多边形内外
集合运算:并、交、差
多边形的性质计算
凸多边形
多边形的凸包
多边形的离散(凸划分,三角化)
平面区域(环的方向,内环)
平面区域的运算
求面积
判点在平面区域内外
集合运算:并、交、差
平面区域的离散(凸划分,三角化)
平面区域的绘制
平面曲线
圆弧、椭圆等
表示法
求给定参数的点
绘制
Bezier曲线 (从3次到n次)
从直线,圆的启示(有限参数表示无穷点集)
1 次Bezier
2 次Bezier
3 次Bezier
Bezier曲线的通用表示形式
在空间给定n+1个点P0,P1,… Pn,称下列参数曲线为n次的Bezier曲线。
,
其中,P0,P1,… Pn称为c(t)的控制顶点,由P0,P1,… Pn连接而成的多边形称为C(t)的特征多边形;P0,P1,… Pn控制多边形是c(t)的大致形状的勾画;c(t)是对P0,P1,… Pn的逼近。
Bi,n(t)是Bernstein基函数,也就是曲线上各点位置矢量的调和函数,具体定义如下:
= i=0,1,…n
Bernstein调和函数性质
非负性 , 即Bi,n(t) = 0,具体说来:
当
权性
对称性
BI,n(t)= Bn-i,n(1-t)
递推性
Bi,n(t)=(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)
i=0,1,2,…n
(5)导函数
B’i,n(t)=n[Bi-1,n-1(t)- Bi,n-1(t)],i=0,1,…,n
Bezier曲线的性质
端点性质
端点位置矢量
曲线上起点(t=0)和终点(t=1)与控制多边形的起点,终点重合;
切矢量
曲线上起点与终点处的切线方向和特征多边形第一条边、最后一条边的走向一致。
曲率
Bezier曲线在端点处的r阶导数,只与(r+1)个相邻点
(2)对称性:说明BEZIER曲线及其特征多边形在起点处有什么几何性质,它在终点处也有相同的性质。
(3)凸包性:曲线上各点均落在BEZIER特征多边形构成的凸包内;
(4)几何不变性:位置与形状只与其特征多边形顶点位置有关,而与选取的坐标系无关;
(5)变差缩减性:任一直线与曲线交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数,说明BEZIER曲线比控制多边形的波动数少,即光顺一些。
Bezier曲线绘制
一般应用中,以二次、三次Bezier曲线为最多。我们以三次Bezier曲线为例来讨论。
(1)直接绘制
我们可根据上述公式来绘制Bezier曲线,最直接的办法是根据t从0到1,按一定的步长计算 p
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