§6曲面上的测地线.PDF

§6 曲面上的测地线 一、曲面曲线的测地曲率 二、曲面上的测地线 三、曲面上的半测地坐标网 四、曲面上测地线的短程性 五、Gauss( 高斯)-Bonnet( 波涅)公式 六、曲面上向量的平行移动 *七、极小曲面 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@ecust.edu.cn 1 /35 一、曲面曲线的测地曲率      称r   k 为(C)在P点的曲率向量.  称曲率向量在 上的投影k 为(C)在P点的测地曲率. g 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@ecust.edu.cn 2 /35 测地曲率的性质      k  r   k  g     k (n )       k(  ) n  k n   kcos( ) ksin. 2 P146命题1. 2 2 2 k  k  k . g n P146命题2. 曲面S上的曲线(C), 它在P点的测地曲率的绝对值等  于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C )的曲率. 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@ecust.edu.cn 3 /35 测地曲率的计算 1 2 1 i j du d u 1 du du 2  ij ds ds ds ds i, j k  g g 2 2 2 i j du d u 2 du du 2  ij ds ds ds ds i, j k 属于曲面的内蕴量(在保长变换中保持不变)， g 即曲面曲线的曲率依赖于第一基本形式的部分. 该式容易记忆, 但计算比较复杂. 如果在曲面上取正交坐 标网, 则k 能够写成比较简 的表达式(即Liouville公式). g 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@ecust.edu.cn 4 /35 Liouville(刘维尔)公式 设曲面S 的曲纹坐标网为正交网, 因而曲面的的第一基 2 2 本形式是I  E(du) G(dv) . 设(C) : u  u(s), v  v(s) 是曲面S上的一条曲线, 其中s是弧长参数. 假定(C) u- 曲线的夹角是, 则曲线(C)的测地曲率是