西工大计算方法6.ppt

所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。 所以求积公式至少具有2n＋1次代数精确度。对于2n+2次多项式 有 而 故求积公式的代数精确度是2n+1。 证毕 两条结论： ①．高斯型求积公式一定是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定。 ②．高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式（2n＋1次）。 当高斯点确定以后，高斯系数 也可以由插值型求积公式中的系数公式 确定. 即可由线性方程组 确定。 二、Legendre多项式 n＋1次Legendre多项式为： 其性质有 1、n+1次Legendre多项式与任意不超过n次的多项式在区间[-1,1]上正交。 2、n+1次Legendre多项式的n+1个零点都在区间[-1,1]内。 例： 一次Legendre多项式及其零点为： 二次Legendre多项式及其零点为： 三次Legendre多项式及其零点为： 三、Gauss-Legendre求积公式 为 的零点 。 一点Gauss-Legendre求积公式为： 两点Gauss-Legendre求积公式为： 实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意区间上的Gauss-Legendre求积公式。 三点Gauss-Legendre求积公式为： 事实上，作变换 即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上： 四、Gauss型求积公式的截断误差 定理： 设 在 内只有2n+2阶导数，则高斯型求积公式的余项为： 证明： 的Hermite插值多项式，则 的次数 。 设 为满足 由于高斯型求积公式的代数精度为2n+1，故 证毕 高斯型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。但当求积节点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。因此，有时也可以将区间分化成若干个小区间，在每个小区间上应用低阶的Gauss型求积公式，即复化高斯求积公式。 则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1个未知数、n+1个方程的方程组。 若求积节点互异，则 从而可得唯一解 从而构造出至少具有n次代数精度的求积公式。 例：确定求积公式 解：求积公式中含有一个待定参数， 当f(x)=1,x 时,有 中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式具有的代数精度。 故令求积公式对f(x)=x2成立,即 得 令 代入已求得的求积公式，显然 故 具有三次代数精度。 ? 令 §6.4 复化求积公式 当n?7时，Newton-Cotes系数均为正，但从n=8?开始， Newton-Cotes系数有正有负，这会使计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。 因此，实际计算时，一般不采用n较大的Newton-Cotes公式，而是将区间[a,b]等分为N个小区间，其长度为h=(b-a)/N,在每个小区间上应用低阶的公式，然后对所有小区间上的计算结果求和，这样得出的 求积公式称为复化求积公式。 一、常用的几种复化求积公式 1.复化梯形公式 将[a,b]等分为N个子区间 由 其中 当N?? 时， 即TN收敛于 关于复化梯形公式的余项有如下定理： 定理6.4 设f（ x）在区间[a,b]上有连续的二阶导数，则复化梯形公式的截断误差为： 证明： 若f?(x)在[a,b]连续,设m为f ?(x)的最小值,M为f ?(x)的最大值,则 故由介值定理,一定在(a,b)有一点 使 Remark：若 ，则有误差估计式 证毕 2.复化辛浦生公式 将[a,b]等份成N个子区间[x2k，x2k+2](k＝0，1，…,N-1)，子区间长度 由 3.复化柯特斯公式 将[a,b]等份成N个子区间[x4k，x4k+4](k＝0，1，…,N-1)，子区间长度 由 例子1 若取9个节点，用复化梯形公式、复化辛浦生公式和复化柯特斯公式计算积分，其步长以及与9个节点所对应的求积系数分别是多少？ 解：复化梯形公式：N=8，h=(b-a)/8，对应的求积系数为1、2、2、2、2、2、2、2、1。 复化辛浦生公式：N=4，h=(b-a)/4，对应的求积系数为1、4、2、4、2、4、2、4、1。 复化柯特斯公式：N=2，h=(b-a)/2，对应的求积系数为7、32、12、32、14、32、12、32、7。 # 用积分 计算ln2,要使所得积分近似值具有5位有效数字。问用复化梯形公式，复化Simpson公式时，至少要取多少个节点? 例子2 解:由 且