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第二章 单自由度无阻尼系统的振动 单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。 单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m为质量元件（或惯性元件），k为线性弹簧，C为线性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。 下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。 2—1 自由振动 图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m的静平衡位置为坐标原点，取x轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，，故有静位移 δ=mg/k （a） 当系统处在位置x处时，作用在质量上的力系不再平衡，有： (b) 式中:是质量的加速度，将（a）式代入（b）式；则得 即 （2-1） 注意，上式中-kx是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。 将（2-1）式改写成 ，令 则得 （2-2） 这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为 （2-3） 式中两个积分常数D1及D2由初始条件确定。令t=0时，x(0)=x0 ，，得 D1=x0，D2=/p。将D1、D2值代入（2-3）式,得 （2-4） 由式（2-4）可见，由初始条件引起的自由振动是按正弦、余弦函数变化的两个简谐运动组成的，这两个同频率的简谐运动仍可合成为一个简谐运动。 令： （2-5） (2-6) 则式（2-4）可改写为 （2-7） 上式表示无阻尼自由振动是简谐振动，其运动图线如图2-3所示。上式中A称为振幅，φ称为初相角。p称为振动系统振动的圆频率。其表达式为 （rad/s） （2-8） 每秒时间内的振动次数称为系统的振动频率，用f表示。 （HZ） （2-9） 系统的振动重复一次所需要的时间间隔称为振动周期，用T表示。 （s） （2-10） 由此可见，简谐振动的振幅A与初相角φ的大小取决于p、x0、的数值，这就是说A与φ不仅取决于系统的k与m，而且还随初始条件的不同而改变；而振动频率及周期只与系统的本身性质（弹性与惯性）有关，而与初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为固有频率与固有周期。同样质量的两个系统，弹簧刚度小的系统固有频率低，弹簧刚度大的系统固有频率高；而刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。 系统的固有频率也可以从弹簧的静变形算出。由式（a）可得，代入（2-9）式即得 （2-11） [例2-1] 均匀悬臂梁长为L，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，如图2-4所示。试写出系统的振动微分方程，并求出固有频率。 解：将该系统简化为单自由度振动系统，悬臂梁相当 一根弹簧。由材料力学中悬臂梁的挠度公式知，当在梁的自由端作用一垂直力P时，该点的静挠度为，故悬臂梁的刚度。所以梁端物体的振动微分方程为 即 固有频率为 。 在